Архимедова спираль

Три 360 ° петли одного плеча спирали Архимеда

Резьб (также известный как арифметическая спираль ) представляет собой спираль , названной в честь третьего века до нашей эры греческого математика Архимеда . Это геометрическое место, соответствующее местоположениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью . Эквивалентно, в полярных координатах ( r , θ ) его можно описать уравнением

${\ Displaystyle г = а + б \ cdot \ theta}$

с действительными числами a и b . Изменение параметра a перемещает центральную точку спирали наружу от начала координат (положительное значение a в направлении θ = 0 и отрицательное значение a в сторону θ = π ) по существу за счет вращения спирали, в то время как b контролирует расстояние между петлями.

Таким образом, из приведенного выше уравнения можно утверждать: положение частицы от точки старта пропорционально углу θ с течением времени.

Архимед описал такую ​​спираль в своей книге « О спиралях» . Конон Самосский был его другом, и Папп утверждает, что эту спираль открыл Конон. ^[1]

Вывод общего уравнения спирали [ править ]

Ниже используется физический подход для понимания понятия спиралей Архимеда.

Предположим, что точечный объект движется в декартовой системе с постоянной скоростью v, направленной параллельно оси x относительно плоскости xy . Пусть в момент времени t = 0 объект находился в произвольной точке ( c , 0, 0) . Если плоскость xy вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси z , то скорость точки относительно оси z может быть записана как:

В ху плоскость поворачивается на угол ωt (против часовой стрелки) вокруг начала координат в времени т . ( c , 0) - положение объекта при t = 0 . P - это положение объекта в момент времени t на расстоянии R = vt + c .

${\ displaystyle {\ begin {align} | v_ {0} | & = {\ sqrt {v ^ {2} + \ omega ^ {2} (vt + c) ^ {2}}} \\ v_ {x} & = v \ cos \ omega t- \ omega (vt + c) \ sin \ omega t \\ v_ {y} & = v \ sin \ omega t + \ omega (vt + c) \ cos \ omega t \ end { выровнено}}}$

Здесь vt + c - модуль вектора положения частицы в любой момент времени t , v _x - составляющая скорости вдоль оси x, а v _y - составляющая вдоль оси y . Рисунок, показанный рядом, объясняет это.

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int v_ {x} \, dt & = x \\\ int v_ {y} \, dt & = y \ end {align}}}$

Вышеупомянутые уравнения можно интегрировать, применяя интегрирование по частям , что приводит к следующим параметрическим уравнениям:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=(vt+c)\cos \omega t\\y&=(vt+c)\sin \omega t\end{aligned}}}$

Возведение двух уравнений в квадрат с последующим сложением (и некоторыми небольшими изменениями) приводит к декартову уравнению

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {v}{\omega }}\cdot \arctan {\frac {y}{x}}+c}$

(используя тот факт, что ωt = θ и θ = arctgy/Икс) или же

${\displaystyle \tan \left(\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\right)\cdot {\frac {\omega }{v}}\right)={\frac {y}{x}}}$

Его полярная форма

${\displaystyle r={\frac {v}{\omega }}\cdot \theta +c}$

Длина дуги, кривизна [ править ]

Учитывая параметризацию в декартовых координатах

${\displaystyle f\colon \theta \mapsto (r\,\cos \theta ,r\,\sin \theta )=(a\,\theta \,\cos \theta ,a\,\theta \,\sin \theta )}$

длина дуги от до составляет${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle {\frac {a}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\frac {a}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\operatorname {arsinh} \theta \right]_{\theta _{1}}^{\theta _{2}}.}$

Таким образом, общая длина от до составляет${\displaystyle \theta _{1}=0}$${\displaystyle \theta _{2}=\theta }$

${\displaystyle {\frac {a}{2}}\left[\theta \,{\sqrt {1+\theta ^{2}}}+\ln \left(\theta +{\sqrt {1+\theta ^{2}}}\right)\right].}$

Кривизна определяется выражением

${\displaystyle \kappa ={\frac {\theta ^{2}+2}{a(\theta ^{2}+1)^{\frac {3}{2}}}}}$

Характеристики [ править ]

Архимедова спираль обладает тем свойством, что любой луч из начала координат пересекает последовательные повороты спирали в точках с постоянным разделительным расстоянием (равным 2 πb, если θ измеряется в радианах ), отсюда и название «арифметическая спираль». В отличие от этого, в логарифмической спирали эти расстояния, а также расстояния до точек пересечения, измеренные от начала координат, образуют геометрическую прогрессию .

Оскулирующие круги спирали Архимеда. Сама спираль не рисуется: мы видим ее как геометрическое место точек, где окружности особенно близки друг к другу.

Спираль Архимеда имеет два рукава: одно для θ > 0 и одно для θ <0 . Два плеча плавно соединены в начале координат. На прилагаемом графике показана только одна рука. Если сделать зеркальное отображение этого плеча поперек оси Y, получится другое плечо.

Для больших θ точка движется с хорошо аппроксимированным равномерным ускорением по спирали Архимеда, в то время как спираль соответствует положениям во времени точки, удаляющейся от фиксированной точки с постоянной скоростью вдоль линии, которая вращается с постоянной угловой скоростью ^[2] (см. вклад Михаила Гайченкова).

По мере роста спирали Архимеда ее эволюция асимптотически приближается к окружности радиуса| v |/ω.

Спираль Архимеда на полярном графе

Общая архимедова спираль [ править ]

Иногда термин спираль Архимеда используется для более общей группы спиралей.

${\displaystyle r=a+b\cdot \theta ^{\frac {1}{c}}.}$

Нормальная архимедова спираль возникает при c = 1 . Другие спирали, попадающие в эту группу, включают гиперболическую спираль ( c = −1 ), спираль Ферма ( c = 2 ) и литуус ( c = −2 ). Практически все статические спирали, встречающиеся в природе, являются логарифмическими , а не архимедовыми. Многие динамические спирали (например, Parker спирали от солнечного ветра , или рисунка , сделанного колеса Екатерины ) являются архимедова.

Приложения [ править ]

В одном из методов квадрата круга , предложенном Архимедом, используется архимедова спираль. Архимед также показал, как спиралью можно разрезать угол пополам . Оба подхода ослабляют традиционные ограничения на использование линейки и циркуля в древнегреческих геометрических доказательствах. ^[3]

Спираль Архимеда имеет множество практических применений. Спиральные компрессоры , используемые для сжатия газов, имеют роторы, которые могут быть изготовлены из двух чередующихся архимедовых спиралей, эвольвент круга одинакового размера, которые почти напоминают спирали Архимеда ^[4] или гибридных кривых. Архимедовы спирали можно найти в спиральной антенне , которая может работать в широком диапазоне частот. Катушки пружин баланса часов и канавки на очень ранних граммофонных пластинках образуют архимедовы спирали, делая канавки равномерно расположенными (хотя позже было введено переменное расстояние между дорожками, чтобы максимально увеличить количество музыки, которую можно было нарезать на пластинку). ^[5]Попросить пациента нарисовать спираль Архимеда - это способ количественной оценки человеческого тремора ; эта информация помогает в диагностике неврологических заболеваний. Архимедовы спирали также используются в проекционных системах с цифровой обработкой света (DLP), чтобы минимизировать « эффект радуги », создавая впечатление, что несколько цветов отображаются одновременно, тогда как на самом деле красный, зеленый и синий чередуются чрезвычайно быстро. . ^[6] Кроме того, спирали Архимеда используются в пищевой микробиологии для количественного определения концентрации бактерий с помощью спирального диска. ^[7] Они также используются для моделирования узора, который появляется на рулоне бумаги или ленты постоянной толщины, обернутой вокруг цилиндра. ^{[8] [9]}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с архимедовыми спиралями .

• Джонатан Мэтт делает спираль Архимеда интересной - Видео: Удивительная красота математики - TedX Talks , Green Farms
• Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Архимеда» . MathWorld .
• архимедова спираль в PlanetMath .
• Страница с приложением Java для интерактивного изучения спирали Архимеда и связанных с ней кривых
• Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)
• Спираль Архимеда на "математической кривой"