В разговорной речи среднее значение - это одно число, представляющее непустой список чисел. В разных контекстах используются разные концепции среднего. Часто «среднее» относится к среднему арифметическому , сумме чисел, деленной на количество усредняемых чисел. В статистике , среднее , медиана и режим все известны как меры по центральной тенденции , и в разговорном использовании любого из них можно было бы назвать среднее значение .
Общие свойства
Если все числа в списке - это одно и то же число, то их среднее значение также равно этому числу. Это свойство разделяет каждый из многих типов среднего.
Еще одно универсальное свойство - монотонность : если два списка чисел A и B имеют одинаковую длину, и каждая запись в списке A по крайней мере равна соответствующей записи в списке B , то среднее значение списка A не меньше, чем у список Б . Кроме того, все средние значения удовлетворяют линейной однородности : если все числа в списке умножить на одно и то же положительное число, то его среднее значение изменится на тот же коэффициент.
В некоторых типах среднего значения элементам в списке присваиваются разные веса, прежде чем будет определено среднее значение. К ним относятся средневзвешенное арифметическое , средневзвешенное геометрическое и средневзвешенное значение . Кроме того, для некоторых типов скользящего среднего вес элемента зависит от его позиции в списке. Однако большинство типов средних удовлетворяют нечувствительности к перестановкам : все элементы учитываются одинаково при определении их среднего значения, и их позиции в списке не имеют значения; среднее значение (1, 2, 3, 4, 5) такое же, как и для (3, 2, 5, 4, 1).
Типы
Пифагорейские средства
Среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое вместе известны как пифагорейские средние.
Среднее арифметическое
Самый распространенный тип среднего - это среднее арифметическое. Если п числа заданы, каждое число обозначается я (где я = 1,2, ..., п ), среднее арифметическое является суммой из ы делится на п или
Среднее арифметическое, часто называемое просто средним двух чисел, например 2 и 8, получается путем нахождения такого значения A, что 2 + 8 = A + A. Можно обнаружить, что A = (2 + 8) / 2 = 5. Изменение порядка 2 и 8 на 8 и 2 не меняет результирующего значения, полученного для A. Среднее значение 5 не меньше минимального 2 и не больше максимального 8. Если мы увеличим количество членов в список до 2, 8 и 11, среднее арифметическое определяется путем решения для значения а в уравнении 2 + 8 + 11 = + + A . Получается, что A = (2 + 8 + 11) / 3 = 7.
Среднее геометрическое
Геометрическое среднее из п положительных чисел получается путем умножения их все вместе , а затем взяв п - й корень. В алгебраических терминах среднее геометрическое a 1 , a 2 , ..., a n определяется как
Среднее геометрическое можно рассматривать как антилогарифм среднего арифметического журналов чисел.
Пример: среднее геометрическое 2 и 8 равно
Гармоническое среднее
Гармоническая средняя для непустого набора чисел 1 , 2 , ..., п , все , отличное от 0, определяется как обратной арифметического среднего обратных из я ' ы:
Одним из примеров использования гармонического среднего является исследование скорости для ряда поездок на фиксированное расстояние. Например, если скорость перехода из пункта A в B составляла 60 км / ч, а скорость возврата из пункта B в A была 40 км / ч, то гармоническая средняя скорость определяется как
Неравенство относительно AM, GM и HM
Хорошо известное неравенство относительно средних арифметических, геометрических и гармонических для любого набора положительных чисел:
(Алфавитный порядок букв A , G и H сохраняется в неравенстве.) См. Неравенство средних арифметических и геометрических .
Таким образом, для приведенного выше примера среднего гармонического сигнала: AM = 50, GM ≈ 49 и HM = 48 км / ч.
Статистическая локация
Режим , то медиана , и в середине диапазон часто используются в дополнении к среднему в оценках центральной тенденции в описательных статистиках . Все это можно рассматривать как в некоторой степени минимизирующие вариации; см. Центральная тенденция § Решения вариационных задач .
Тип | Описание | Пример | Результат |
---|---|---|---|
Среднее арифметическое | Сумма значений набора данных, деленная на количество значений: | (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7 | 4 |
Медиана | Среднее значение, разделяющее большую и меньшую половины набора данных | 1, 2, 2, 3 , 4, 7, 9 | 3 |
Режим | Наиболее частое значение в наборе данных | 1, 2 , 2 , 3, 4, 7, 9 | 2 |
Средний диапазон | Среднее арифметическое наибольшее и наименьшее значения набора | (1 + 9) / 2 | 5 |
Режим
Номер, который чаще всего встречается в списке, называется режимом. Например, режим списка (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) - 3. Может случиться так, что два или более числа встречаются одинаково часто и чаще, чем любое другое число. В этом случае нет согласованного определения режима. Некоторые авторы говорят, что это все режимы, а некоторые говорят, что режима нет.
Медиана
Медиана - это средний номер группы, когда они ранжируются по порядку. (Если имеется четное количество чисел, берется среднее из двух средних.)
Таким образом, чтобы найти медиану, упорядочьте список в соответствии с величиной его элементов, а затем несколько раз удаляйте пару, состоящую из самого высокого и самого низкого значений, пока не останется одно или два значения. Если осталось ровно одно значение, это медиана; если два значения, медиана - это среднее арифметическое этих двух. Этот метод берет список 1, 7, 3, 13 и приказывает ему прочитать 1, 3, 7, 13. Затем 1 и 13 удаляются, чтобы получить список 3, 7. Поскольку в этом оставшемся списке есть два элемента, медиана - их среднее арифметическое, (3 + 7) / 2 = 5.
Средний диапазон
Средний диапазон - это среднее арифметическое самого высокого и самого низкого значений набора.
Резюме типов
Имя | Уравнение или описание |
---|---|
Среднее арифметическое | |
Медиана | Среднее значение, отделяющее верхнюю половину от нижней половины набора данных. |
Геометрическая медиана | Вращение инвариантное расширение медианы для точек в R п |
Режим | Наиболее частое значение в наборе данных |
Среднее геометрическое | |
Гармоническое среднее | |
Среднее квадратичное (или RMS) | |
Кубическое среднее | |
Обобщенное среднее | |
Средневзвешенное значение | |
Усеченное среднее | Среднее арифметическое значений данных после отбрасывания определенного количества или доли самого высокого и самого низкого значений данных. |
Межквартильное среднее | Частный случай усеченного среднего с использованием межквартильного размаха . Частный случай интерквантильного усеченного среднего, который работает с квантилями (часто децилями или процентилями), которые равноудалены, но находятся по разные стороны от медианы. |
Средний диапазон | |
Winsorized среднее | Подобно усеченному среднему, но вместо удаления крайних значений они устанавливаются равными наибольшему и наименьшему оставшимся значениям. |
Таблица математических символов объясняет символы , используемые ниже.
Разные типы
Другими более сложными средними являются: трехзначное , тримедианное и нормализованное среднее с их обобщениями. [1]
Можно создать собственную среднюю метрику, используя обобщенное f- среднее :
где f - любая обратимая функция. Гармоническое среднее является примером этого с использованием f ( x ) = 1 / x , а среднее геометрическое - другим, используя f ( x ) = log x .
Однако этот метод генерации средних не является достаточно общим, чтобы учесть все средние значения. Более общий метод [2] для определения среднего значения принимает любую функцию g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) списка аргументов, которая является непрерывной , строго возрастающей по каждому аргументу и симметричной (инвариантной относительно перестановки аргументов). Среднее значение y - это значение, которое при замене каждого члена списка приводит к тому же значению функции: g ( y , y , ..., y ) = g ( x 1 , x 2 , ..., x п ) . Это наиболее общее определение по-прежнему отражает важное свойство всех средних значений, заключающееся в том, что среднее значение списка идентичных элементов является самим этим элементом. Функция g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 + x 2 + ··· + x n обеспечивает среднее арифметическое. Функция g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 x 2 ··· x n (где элементы списка - положительные числа) обеспечивает среднее геометрическое. Функция g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = - ( x 1 −1 + x 2 −1 + ··· + x n −1 ) (где элементы списка - положительные числа) обеспечивает гармоническое среднее. [2]
Средняя процентная доходность и CAGR
Тип среднего, используемый в финансах, - это средняя процентная доходность. Это пример среднего геометрического. Когда доходность является годовой, это называется среднегодовым темпом роста (CAGR). Например, если мы рассматриваем период в два года, и доходность инвестиций в первый год составляет -10%, а доходность во второй год составляет + 60%, то можно получить среднюю процентную доходность или CAGR, R. путем решения уравнения: (1 - 10%) × (1 + 60%) = (1 - 0,1) × (1 + 0,6) = (1 + R ) × (1 + R ) . Значение R, которое делает это уравнение верным, составляет 0,2 или 20%. Это означает, что общая прибыль за 2-летний период такая же, как если бы рост составлял 20% каждый год. Порядок лет не имеет значения - средняя процентная доходность + 60% и -10% - это тот же результат, что и для -10% и + 60%.
Этот метод можно обобщить на примеры, в которых периоды не равны. Например, рассмотрим период в полгода, для которого доходность составляет -23%, и период в два с половиной года, для которого доходность составляет + 13%. Средняя процентная доходность за комбинированный период - это доходность за один год, R , которая является решением следующего уравнения: (1 - 0,23) 0,5 × (1 + 0,13) 2,5 = (1 + R ) 0,5 + 2,5 , что дает средняя доходность R 0,0600 или 6,00%.
Скользящее среднее
Учитывая временные ряды , такие как дневные цены на фондовых рынках или годовые температуры, люди часто хотят создать более плавные ряды. [3] Это помогает выявить основные тенденции или, возможно, периодическое поведение. Простой способ сделать это - скользящее среднее : выбирается число n и создается новый ряд, взяв среднее арифметическое первых n значений, затем продвигаясь вперед на одно место, отбрасывая самое старое значение и вводя новое значение в другом. конец списка и т. д. Это простейшая форма скользящей средней. Более сложные формы предполагают использование средневзвешенного значения . Взвешивание можно использовать для усиления или подавления различного периодического поведения, и в литературе по фильтрации есть очень обширный анализ того, какие веса использовать . В цифровой обработке сигналов термин «скользящее среднее» используется даже тогда, когда сумма весов не равна 1,0 (поэтому выходной ряд является масштабированной версией средних значений). [4] Причина этого в том, что аналитика обычно интересует только тренд или периодическое поведение.
История
Источник
Впервые зарегистрированный раз, когда среднее арифметическое было расширено с 2 до n случаев для использования оценки, было в шестнадцатом веке. Начиная с конца шестнадцатого века, он постепенно стал обычным методом уменьшения ошибок измерения в различных областях. [5] [6] В то время астрономы хотели узнать реальное значение на основе измерения шума, например, положение планеты или диаметр Луны. Используя среднее нескольких измеренных значений, ученые предположили, что ошибки составляют относительно небольшое число по сравнению с суммой всех измеренных значений. Метод вычисления среднего значения для уменьшения ошибок наблюдений действительно получил развитие в астрономии. [5] [7] Возможным предшественником среднего арифметического является средний диапазон (среднее из двух крайних значений), используемый, например, в арабской астрономии девятого-одиннадцатого веков, а также в металлургии и навигации. [6]
Однако существуют различные старые расплывчатые ссылки на использование среднего арифметического (которые не так ясны, но вполне могут иметь отношение к нашему современному определению среднего). В тексте 4-го века было написано, что (текст в квадратных скобках является возможным отсутствующим текстом, который может прояснить смысл): [8]
- В первую очередь, мы должны выложить в ряд последовательность чисел от монады до девяти: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Затем мы должны сложить количество всех их вместе, и поскольку строка содержит девять членов, мы должны искать девятую часть общей суммы, чтобы увидеть, присутствует ли она уже естественным образом среди чисел в строке; и мы обнаружим, что свойство быть [одной] девятой [суммы] принадлежит только самому [арифметическому] среднему ...
Существуют даже более старые потенциальные ссылки. Есть записи, что примерно с 700 г. до н.э. торговцы и грузоотправители договорились, что ущерб, нанесенный грузу и кораблю (их «вклад» в случае повреждения морем), должен быть разделен поровну между собой. [7] Это могло быть рассчитано с использованием среднего, хотя, похоже, нет прямой записи этого расчета.
Этимология
Корень встречается на арабском языке как عوار awār , дефект или что-либо дефектное или поврежденное, включая частично испорченный товар; и عواري awārī (также عوارة awāra ) = «относящийся к awār , состоянию частичного повреждения». [9] В западных языках история этого слова начинается со средневековой морской торговли на Средиземном море. В Генуе XII и XIII веков латинское слово avaria означало «ущерб, убытки и необычные расходы, возникающие в связи с морским торговым путешествием»; такое же значение для аварии используется в Марселе в 1210 году, в Барселоне в 1258 году и во Флоренции в конце 13 века . [10] Французская авария 15 века имела то же значение, и она породила английское «averay» (1491 г.) и английское «среднее» (1502 г.) с тем же значением. Сегодня итальянская авария , каталонская авария и французская авари по- прежнему имеют основное значение «повреждение». Огромная трансформация значения в английском языке началась с практики в договорах о торговом мореплавании на Западе позднего средневековья и раннего Нового времени, согласно которым, если судно попадет в сильный шторм, некоторые товары должны быть выброшены за борт, чтобы сделать судно легче и безопаснее тогда все купцы, чьи товары находились на корабле, должны были пропорционально пострадать (а не чьи бы то ни было товары были выброшены за борт); и вообще должно было быть пропорциональное распределение любой аварии . Отсюда это слово было принято британскими страховщиками, кредиторами и торговцами для того, чтобы говорить о своих убытках как о распределении по всему их портфелю активов и о средней пропорции. Сегодняшнее значение возникло из этого, началось в середине 18 века и началось в английском языке. [10] [1] .
Морской ущерб - это либо частный средний ущерб , который несет только владелец поврежденного имущества, либо общий ущерб , когда владелец может требовать пропорционального вклада от всех сторон морского предприятия. Тип расчетов, используемых при корректировке общего среднего, привел к использованию «среднего» для обозначения «среднего арифметического».
Второе английское употребление, задокументированное еще в 1674 году и иногда пишущееся как «авериш», - это остатки и второй рост полевых культур, которые считались пригодными для употребления тягловыми животными («аверс»). [11]
Существует более раннее (по крайней мере, с XI века) несвязанное использование этого слова. Похоже, это старый юридический термин для обозначения дневных трудовых обязательств арендатора перед шерифом, вероятно, англизированный от слова «avera», найденного в Английской книге судного дня (1085 г.).
Оксфордский словарь английского языка, однако, говорит, что производные от немецкого hafen haven и арабского awâr loss (ущерб) были «полностью уничтожены», и это слово имеет романское происхождение. [12]
Средние значения как риторический инструмент
Из-за вышеупомянутой разговорной природы термина «среднее», этот термин может использоваться, чтобы скрыть истинное значение данных и предложить различные ответы на вопросы в зависимости от используемого метода усреднения (чаще всего - среднего арифметического, медианы или режима). В своей статье «В рамке для лжи: статистика как художественное доказательство» член факультета Питтсбургского университета Дэниел Либертц отмечает, что по этой причине статистическая информация часто исключается из риторических аргументов. [13] Однако из-за их убедительности, средние и другие статистические значения не следует полностью отбрасывать, а вместо этого использовать и интерпретировать с осторожностью. Либертц предлагает нам критически относиться не только к статистической информации, такой как средние, но и к языку, используемому для описания данных и их использования, говоря: «Если статистика полагается на интерпретацию, риторы должны приглашать свою аудиторию интерпретировать, а не настаивать на интерпретация ". [13] Во многих случаях данные и конкретные расчеты предоставляются, чтобы облегчить эту интерпретацию на основе аудитории.
Смотрите также
- Среднее абсолютное отклонение
- Закон средних чисел
- Ожидаемое значение
- Центральная предельная теорема
Рекомендации
- ^ Мериго, Хосе М .; Канановас, Монтсеррат (2009). «Обобщенный гибридный оператор усреднения и его применение в принятии решений» . Журнал количественных методов экономики и делового администрирования . 9 : 69–84. ISSN 1886-516X .[ постоянная мертвая ссылка ]
- ^ а б Бибби, Джон (1974). «Аксиоматизации среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей» . Математический журнал Глазго . 15 : 63–65. DOI : 10.1017 / s0017089500002135 .
- ^ Коробка, Джордж EP; Дженкинс, Гвилим М. (1976). Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль (отредактированная ред.). Холден-Дэй. ISBN 0816211043.
- ^ Хайкин, Саймон (1986). Теория адаптивного фильтра . Прентис-Холл. ISBN 0130040525.
- ^ а б Плакетт Р.Л. (1958). «Исследования по истории вероятности и статистики: VII. Принцип среднего арифметического». Биометрика . 45 (1/2): 130–135. DOI : 10.2307 / 2333051 . JSTOR 2333051 .
- ^ а б Эйзенхарт, Черчилль. «Развитие концепции наилучшего среднего из множества измерений от античности до наших дней». Неопубликованное обращение президента, Американская статистическая ассоциация, 131-е ежегодное собрание, Форт-Коллинз, Колорадо. 1971 г.
- ^ a b Баккер, Артур. «Ранняя история средних значений и значение для образования». Журнал статистики образования 11.1 (2003): 17-26.
- ^ "Уотерфилд, Робин." Богословие арифметики. "О мистическом, математическом и космологическом символизме числа первой десятки (1988). Стр. 70" (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 04 марта 2016 года . Проверено 27 ноября 2018 .
- ^ В средневековом арабском языке عور awr означало «слепой на один глаз», а عوار awār означало «любой дефект или что-либо дефектное или поврежденное». Некоторые средневековые арабские словари находятся на Baheth.info, заархивированы 2013-10-29 на Wayback Machine , а некоторые переводы на английский язык того, что есть в средневековых арабских словарях, есть в арабско-английском лексиконе Лейна , страницы 2193 и 2195 . Средневековые словари не перечисляют словоформу عوارية awārīa . ʿAwārīa может быть естественным образом образован в арабской грамматике для обозначения вещей, которые имеют awār , но на практике в средневековых арабских текстах awārīa является редкостью или вообще не существует, в то время как формы عواري awārī и عوارة awāra часто используются при обращении к вещам, имеющим awār или повреждение - это можно увидеть в доступной для поиска коллекции средневековых текстов на сайте AlWaraq.net (ссылки на книги доступны с правой стороны).
- ^ a b Об арабском происхождении аварии впервые сообщил Рейнхарт Дози в 19 веке. Оригинальное резюме Дози находится в его книге 1869 года Glossaire . Сводная информация о ранних записях этого слова на итальянско-латинском, итальянском, каталонском и французском языках находится на avarie @ CNRTL.fr. Архивировано 6 января 2019 года в Wayback Machine . В морском порту Генуи находится самая ранняя из известных записей на европейских языках, 1157 год. Набор средневековых латинских записей об аварии в Генуе находится в загружаемом лексиконе Vocabolario Ligure , написанном Серджио Апросио, 2001 год, авария на страницах тома 1 115-116. Многие другие записи на средневековой латыни в Генуе находятся на сайте StoriaPatriaGenova.it , обычно во множественном числе avariis и avarias . В порту Марселя в 1-й половине 13-го века нотариально заверенные коммерческие контракты содержат десятки экземпляров латинского avariis (аблатив множественного числа от avaria ), опубликованного в Blancard 1884 года . Некоторая информация об английском слове на протяжении веков находится в NED (1888 год) . См. Также определение английского слова «средний» в английских словарях, опубликованных в начале 18 века, т. Е. В период, непосредственно предшествующий значительному изменению значения: словарь Керси-Филлипса (1706 г.) , словарь Блаунта (издание 1707 г.) , Словарь Хаттона (1712 г.) , словарь Бейли (1726 г.) , словарь Мартина (1749 г.) . Некоторые сложности, связанные с историей английского слова, обсуждаются в Hensleigh Wedgwood, 1882, стр. 11, и Walter Skeat, 1888, стр. 781 . Сегодня существует консенсус, что: (№1) сегодняшнее английское «среднее» происходит от средневековой итальянской аварии , каталонской аварии , и (№2) у латинян слово авария возникло в 12 веке и началось как термин Средиземного моря. коммерция, и (# 3) нет корня для avaria в латыни, и (# 4) значительное количество арабских слов появилось в итальянском, каталонском и провансальском языках в XII и XIII веках, начиная с терминов средиземноморской морской торговли. , и (# 5) арабский awār | Тавари фонетически хорошо подходит к аварии , так как преобразование w в v было регулярным в латинском и итальянском языках, а -ia - это суффикс в итальянском языке, а самые ранние записи западного слова находятся в итальянскоязычных регионах (письмо на латыни). И большинство комментаторов согласны с тем, что (# 6) арабский awār | ʿAwārī = "повреждение | связанный с ущербом" семантически хорошо подходит для avaria = "ущерб или расходы на ущерб". Меньшая часть комментаторов сомневается в этом на том основании, что ранние записи итало-латинской аварии в некоторых случаях имеют значение «расходы» в более общем смысле - см. TLIO (на итальянском языке) . Большинство считает, что значение «расходы» было расширением от «ущерба и убытков», и хронологический порядок значений в записях поддерживает эту точку зрения, а широкое значение «расходы» никогда не было наиболее распространенным. использованное значение. На основании вышеизложенного делается вывод о том, что латинское слово произошло или, вероятно, произошло от арабского слова.
- ^ Рэй, Джон (1674). Сборник английских слов, которые обычно не используются . Лондон: Х. Брюгге . Дата обращения 18 мая 2015 .
- ^ "средний, п.2". OED Online. Сентябрь 2019. Oxford University Press. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (по состоянию на 5 сентября 2019 г.).
- ^ а б Либертц, Даниэль (31 декабря 2018 г.). «В рамке для лжи: статистика как художественное доказательство» . Res Rhetorica . 5 (4). DOI : 10.29107 / rr2018.4.1 . ISSN 2392-3113 .
Внешние ссылки
- Медиана как средневзвешенное арифметическое всех наблюдений в выборке
- Расчеты и сравнение среднего арифметического и среднего геометрического двух значений