В математике , теорема автономной конвергенции является одним из семейства родственных теорем , устанавливающие условие , гарантирующее глобальная асимптотическая устойчивость в виде непрерывной автономной динамической системы .
История
Гипотеза Маркуса – Ямабе была сформулирована как попытка дать условия глобальной устойчивости непрерывных динамических систем в двух измерениях . Однако гипотеза Маркуса – Ямабе не верна для размерностей больше двух, и эту проблему пытаются решить теоремы об автономной сходимости. Первая автономная теорема сходимости была построена Расселом Смитом. [1] Эта теорема была позже уточнена Майклом Ли и Джеймсом Малдоуни. [2]
Пример автономной теоремы сходимости
Сравнительно простая теорема об автономной сходимости выглядит следующим образом:
- Позволять быть вектором в некотором пространстве , эволюционирующая согласно автономному дифференциальному уравнению. Предположим, что является выпуклым и вперед инвариантна при , и что существует неподвижная точка такой, что . Если существует логарифмическая норматакой, что якобиан удовлетворяет для всех значений , тогда является единственной неподвижной точкой, и она глобально асимптотически устойчива. [3] [4]
Эта теорема об автономной сходимости очень тесно связана с теоремой Банаха о неподвижной точке .
Как работает автономная конвергенция
Примечание: это интуитивное описание того, как автономные теоремы сходимости гарантируют стабильность, а не строго математическое описание.
Ключевым моментом приведенного выше примера теоремы является существование отрицательной логарифмической нормы, которая выводится из векторной нормы . Векторная норма эффективно измеряет расстояние между точками в векторном пространстве, на котором определено дифференциальное уравнение, а отрицательная логарифмическая норма означает, что расстояния между точками, измеренные соответствующей векторной нормой, уменьшаются со временем под действием. До тех пор , как траектории всех точек в фазовом пространстве являются ограниченными , все траектории должны , следовательно , в конечном итоге сходятся к одной и той же точке.
Теоремы об автономной конвергенции Рассела Смита, Майкла Ли и Джеймса Малдоуни работают аналогичным образом, но они полагаются на демонстрацию того, что площадь двумерных форм в фазовом пространстве уменьшается со временем. Это означает, что никаких периодических орбит существовать не может, поскольку все замкнутые контуры должны сжиматься в точку. Если система ограничена, то согласно лемме Пью о закрытии не может быть и хаотического поведения , поэтому все траектории в конечном итоге должны достичь равновесия.
Майкл Ли также разработал расширенную теорему об автономной сходимости, которая применима к динамическим системам, содержащим инвариантное многообразие . [5]
Заметки
- ^ Рассел А. Смит, "Некоторые применения неравенств размерности Хаусдорфа для обыкновенных дифференциальных уравнений", Труды Королевского общества Эдинбурга, секция A , 104A : 235–259, 1986
- ^ Майкл Ю. Ли и Джеймс С. Малдауни, "Об автономной теореме сходимости Р. А. Смита", Rocky Mountain Journal of Mathematics , 25 (1) : 365–379, 1995
- ^ В. И. Вербицкий, А. Н. Горбань , Совместно диссипативные операторы и их приложения , Сибирский математический журнал , 33 (1): 19–23 , 1992 (см. Также А. Н. Горбань, Ю. И. Шокин, В. И. Вербицкий, arXiv: Physics / 9702021v2 [ Physics .comp-ph])
- ^ Murad Banaji и Стивен Бейджент, "Сеть передачи Electron", Журнал математической химии , 43 (4) : 1355-1370, 2008
- ^ Майкл Ю. Ли и Джеймс С. Малдауни, "Динамика дифференциальных уравнений на инвариантных многообразиях", Журнал дифференциальных уравнений , 168 : 295–320, 2000