Логарифмическая норма

В математике логарифмическая норма представляет собой действительный функционал на операторах и выводится из внутреннего произведения , векторной нормы или ее индуцированной операторной нормы . Логарифмическая норма была независимо введена Гермундом Далквистом ^[1] и Сергеем Лозинским в 1958 году для квадратных матриц . С тех пор он был распространен на нелинейные и неограниченные операторы . ^[2] Логарифмическая норма имеет широкий спектр приложений, в частности, в теории матриц, дифференциальных уравнениях и численном анализе.. В конечномерном случае она также называется матричной мерой или мерой Лозинского.

Исходное определение [ править ]

Позвольте быть квадратной матрицей и быть индуцированной нормой матрицы. Соответствующая логарифмическая норма о определяется${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ | \ CDOT \ |}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ mu (A) = \ lim \ limits _ {h \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {\ | I + hA \ | -1} {h}}}$

Вот это единичная матрица того же размера, что и является реальным, положительное число. Предел , как равные , и в общем случае отличается от логарифмической нормы , как и для всех матриц.${\ displaystyle I}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h \ rightarrow 0 ^ {-}}$${\ Displaystyle - \ му (-A)}$${\ Displaystyle \ му (А)}$${\displaystyle -\mu (-A)\leq \mu (A)}$

Матричная норма всегда положительна , если , но логарифмическая норма также может принимать отрицательные значения, например , если это отрицательно определена . Следовательно, логарифмическая норма не удовлетворяет аксиомам нормы. Название логарифмическая норма, которое не встречается в исходной ссылке, похоже, происходит от оценки логарифма нормы решений дифференциального уравнения ${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle A\neq 0}$${\displaystyle \mu (A)}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax.}$

Максимальная скорость роста составляет . Это выражается дифференциальным неравенством ${\displaystyle \log \|x\|}$${\displaystyle \mu (A)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t^{+}}}\log \|x\|\leq \mu (A),}$

где - правая верхняя производная Дини . Используя логарифмическое дифференцирование, можно также записать дифференциальное неравенство${\displaystyle \mathrm {d} /\mathrm {d} t^{+}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \|x\|}{\mathrm {d} t^{+}}}\leq \mu (A)\cdot \|x\|,}$

показывая его прямую связь с леммой Гренвалла . Фактически, можно показать, что норма матрицы перехода состояний, связанной с дифференциальным уравнением , ограничена ^{[3] [4]}${\displaystyle \Phi (t,t_{0})}$${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$

${\displaystyle \exp \left(-\int _{t_{0}}^{t}\mu (-A(s))ds\right)\leq \|\Phi (t,t_{0})\|\leq \exp \left(\int _{t_{0}}^{t}\mu (A(s))ds\right)}$

для всех .${\displaystyle t\geq t_{0}}$

Альтернативные определения [ править ]

Если векторная норма является нормой внутреннего произведения, как в гильбертовом пространстве , то логарифмическая норма - это наименьшее число, такое, что для всех${\displaystyle \mu (A)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \Re \langle x,Ax\rangle \leq \mu (A)\cdot \|x\|^{2}}$

В отличие от исходного определения, последнее выражение также допускает неограниченность. Таким образом, дифференциальные операторы также могут иметь логарифмическую норму, что позволяет использовать логарифмическую норму как в алгебре, так и в анализе. Поэтому современная расширенная теория предпочитает определение, основанное на внутренних продуктах или двойственности . И операторная норма, и логарифмическая норма тогда связаны с экстремальными значениями квадратичных форм следующим образом: ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \|A\|^{2}=\sup _{x\neq 0}{\frac {\langle Ax,Ax\rangle }{\langle x,x\rangle }}\,;\qquad \mu (A)=\sup _{x\neq 0}{\frac {\Re \langle x,Ax\rangle }{\langle x,x\rangle }}}$

Свойства [ править ]

Основные свойства логарифмической нормы матрицы включают:

1. ${\displaystyle \mu (zI)=\Re \,(z)}$
2. ${\displaystyle \mu (A)\leq \|A\|}$
3. ${\displaystyle \mu (\gamma A)=\gamma \mu (A)\,}$ для скаляра ${\displaystyle \gamma >0}$
4. ${\displaystyle \mu (A+zI)=\mu (A)+\Re \,(z)}$
5. ${\displaystyle \mu (A+B)\leq \mu (A)+\mu (B)}$
6. ${\displaystyle \alpha (A)\leq \mu (A)\,}$где это максимальная вещественная часть собственных в${\displaystyle \alpha (A)}$${\displaystyle A}$
7. ${\displaystyle \|\mathrm {e} ^{tA}\|\leq \mathrm {e} ^{t\mu (A)}\,}$ для ${\displaystyle t\geq 0}$
8. ${\displaystyle \mu (A)<0\,\Rightarrow \,\|A^{-1}\|\leq -1/\mu (A)}$

Пример логарифмической нормы [ править ]

Логарифмическую норму матрицы можно вычислить для трех наиболее распространенных норм следующим образом. В этих формулах представляет собой элемент в строке th и столбце th матрицы . ^[5]${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle \mu _{1}(A)=\sup \limits _{j}(\Re (a_{jj})+\sum \limits _{i,i\neq j}|a_{ij}|)}$
• ${\displaystyle \displaystyle \mu _{2}(A)=\lambda _{max}\left({\frac {A+A^{\mathrm {T} }}{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \mu _{\infty }(A)=\sup \limits _{i}(\Re (a_{ii})+\sum \limits _{j,j\neq i}|a_{ij}|)}$

Приложения в теории матриц и спектральной теории [ править ]

Логарифмическая норма связана с крайними значениями фактора Рэлея. Он считает, что

${\displaystyle -\mu (-A)\leq {\frac {x^{\mathrm {T} }Ax}{x^{\mathrm {T} }x}}\leq \mu (A),}$

и оба крайних значения берутся для некоторых векторов . Это также означает , что каждое собственное значение из удовлетворяет${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle \lambda _{k}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle -\mu (-A)\leq \Re \,\lambda _{k}\leq \mu (A)}$.

В более общем смысле логарифмическая норма связана с числовым диапазоном матрицы.

Матрица с положительно определена, а матрица с отрицательно определена. У таких матриц есть обратные . Матрица, обратная отрицательно определенной матрице, ограничена${\displaystyle -\mu (-A)>0}$${\displaystyle \mu (A)<0}$

${\displaystyle \|A^{-1}\|\leq -{\frac {1}{\mu (A)}}.}$

Как оценки обратного, так и собственных значений остаются в силе независимо от выбора векторной (матричной) нормы. Однако некоторые результаты справедливы только для внутренних норм продукта. Например, если - рациональная функция со свойством${\displaystyle R}$

${\displaystyle \Re \,(z)\leq 0\,\Rightarrow \,|R(z)|\leq 1}$

затем, для норм внутреннего продукта,

${\displaystyle \mu (A)\leq 0\,\Rightarrow \,\|R(A)\|\leq 1.}$

Таким образом, матричную норму и логарифмическую норму можно рассматривать как обобщение модуля и действительной части соответственно от комплексных чисел к матрицам.

Приложения в теории устойчивости и численном анализе [ править ]

Логарифмическая норма играет важную роль в анализе устойчивости непрерывной динамической системы . Его роль аналогична матричной норме для дискретной динамической системы .${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}}$

В простейшем случае, когда - скалярная комплексная постоянная , дискретная динамическая система имеет устойчивые решения, когда , а дифференциальное уравнение имеет устойчивые решения, когда . Когда - матрица, дискретная система имеет устойчивые решения, если . В непрерывной системе решения имеют вид . Они устойчивы, если для всех , что следует из свойства 7 выше, если . В последнем случае - функция Ляпунова для системы.${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle |\lambda |\leq 1}$${\displaystyle \Re \,\lambda \leq 0}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|A\|\leq 1}$${\displaystyle \mathrm {e} ^{tA}x(0)}$${\displaystyle \|\mathrm {e} ^{tA}\|\leq 1}$${\displaystyle t\geq 0}$${\displaystyle \mu (A)\leq 0}$${\displaystyle \|x\|}$

Методы Рунге – Кутты для численного решения заменяют дифференциальное уравнение дискретным уравнением , где рациональная функция является характеристикой метода, а - размер временного шага. Если всякий раз , то устойчивое дифференциальное уравнение, имея , всегда будет приводить к устойчивому (сжимающему) численному методу, так как . Методы Рунге-Кутты, обладающие этим свойством, называются A-стабильными.${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$${\displaystyle x_{n+1}=R(hA)\cdot x_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle h}$${\displaystyle |R(z)|\leq 1}$${\displaystyle \Re \,(z)\leq 0}$${\displaystyle \mu (A)\leq 0}$${\displaystyle \|R(hA)\|\leq 1}$

Сохраняя ту же форму, результаты могут, при дополнительных предположениях, быть распространены на нелинейные системы, а также на теорию полугрупп , где решающим преимуществом логарифмической нормы является то, что она различает прямую и обратную эволюцию во времени и может установить, является ли проблема хорошо поставлен . Подобные результаты также применимы в анализе устойчивости в теории управления , где необходимо различать положительную и отрицательную обратную связь.

Приложения к эллиптическим дифференциальным операторам [ править ]

В связи с дифференциальными операторами обычно используются внутренние продукты и интеграция по частям . В простейшем случае мы рассматриваем функции, удовлетворяющие внутреннему произведению${\displaystyle u(0)=u(1)=0}$

${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{0}^{1}uv\,\mathrm {d} x.}$

Тогда он считает, что

${\displaystyle \langle u,u''\rangle =-\langle u',u'\rangle \leq -\pi ^{2}\|u\|^{2},}$

где равенство слева представляет собой интегрирование по частям, а неравенство справа - неравенство Соболева. В последнем случае достигается равенство функции , что означает, что константа является наилучшей из возможных. Таким образом${\displaystyle \sin \,\pi x}$${\displaystyle -\pi ^{2}}$

${\displaystyle \langle u,Au\rangle \leq -\pi ^{2}\|u\|^{2}}$

для дифференциального оператора , откуда следует, что${\displaystyle A=\mathrm {d} ^{2}/\mathrm {d} x^{2}}$

${\displaystyle \mu ({\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}})=-\pi ^{2}.}$

Поскольку удовлетворяющий оператор называется эллиптическим , логарифмическая норма количественно определяет (сильную) эллиптичность оператора . Таким образом, если сильно эллиптичен, то и обратим при соответствующих данных.${\displaystyle \langle u,Au\rangle >0}$${\displaystyle -\mathrm {d} ^{2}/\mathrm {d} x^{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (-A)<0}$

Если для решения используется метод конечных разностей , задача заменяется алгебраическим уравнением . Матрица обычно наследует эллиптичность, т. Е. Показывает, что она положительно определена и, следовательно, обратима.${\displaystyle -u''=f}$${\displaystyle Tu=f}$${\displaystyle T}$${\displaystyle -\mu (-T)>0}$${\displaystyle T}$

Эти результаты переносятся на уравнение Пуассона, а также на другие численные методы, такие как метод конечных элементов .

Расширения к нелинейным картам [ править ]

Для нелинейных операторов операторная норма и логарифмическая норма определяются в терминах неравенств

${\displaystyle l(f)\cdot \|u-v\|\leq \|f(u)-f(v)\|\leq L(f)\cdot \|u-v\|,}$

где находится верхняя грань константа Липшица из , и это нижняя грань константа Липшица; а также${\displaystyle L(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle l(f)}$

${\displaystyle m(f)\cdot \|u-v\|^{2}\leq \langle u-v,f(u)-f(v)\rangle \leq M(f)\cdot \|u-v\|^{2},}$

где и находятся в домене с . Здесь наименьшая верхняя граница логарифмической константы Липшица и наибольшая нижняя граница логарифмической константы Липшица. Имеет место (сравните выше) и, аналогично , где определено на изображении .${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle D}$${\displaystyle f}$${\displaystyle M(f)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle l(f)}$${\displaystyle m(f)=-M(-f)}$${\displaystyle l(f)=L(f^{-1})^{-1}}$${\displaystyle L(f^{-1})}$${\displaystyle f}$

Для нелинейных операторов, непрерывных по Липшицу, далее выполняется, что

${\displaystyle M(f)=\lim _{h\rightarrow 0^{+}}{\frac {L(I+hf)-1}{h}}.}$

Если дифференцируема и ее область определения выпуклая, то${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle L(f)=\sup _{x\in D}\|f'(x)\|}$ а также ${\displaystyle \displaystyle M(f)=\sup _{x\in D}\mu (f'(x)).}$

Здесь есть матрица Якоби из , связывая нелинейное расширение к матричной норме и логарифмической норме.${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle f}$

Оператор, имеющий либо или , называется равномерно монотонным. Оператор, удовлетворяющий условию , называется сжимающим . Это расширение предлагает множество связей с теорией фиксированной точки и теорией критических точек.${\displaystyle m(f)>0}$${\displaystyle M(f)<0}$${\displaystyle L(f)<1}$

Теория становится аналогичной теории логарифмической нормы для матриц, но становится более сложной, поскольку области определения операторов требуют пристального внимания, как в случае с неограниченными операторами. Свойство 8 логарифмической нормы выше сохраняется независимо от выбора векторной нормы, и выполняется

${\displaystyle M(f)<0\,\Rightarrow \,L(f^{-1})\leq -{\frac {1}{M(f)}},}$

который дает количественную оценку теоремы о равномерной монотонности, предложенной Браудером и Минти (1963).

Ссылки [ править ]