В математике , неравенство Гронуолла (также называемое леммой Гронуолла или неравенство Гронуолла-Беллман ) позволяет связана функция , которая , как известна, удовлетворяет определенный дифференциал или интегральное неравенство решения соответствующего дифференциального или интегрального уравнение . Есть две формы леммы: дифференциальная форма и интегральная форма. Для последнего существует несколько вариантов.
Неравенство Гренвалла - важный инструмент для получения различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений . В частности, он предоставляет теорему сравнения, которую можно использовать для доказательства единственности решения задачи начального значения ; см. теорему Пикара – Линделёфа .
Он назван в честь Томаса Хакона Грёнвалла (1877–1932). Grönwall - это шведское написание его имени, но он написал свое имя как Gronwall в своих научных публикациях после эмиграции в Соединенные Штаты.
Дифференциальная форма была доказана Гренваллом в 1919 году. [1] Интегральная форма была доказана Ричардом Беллманом в 1943 году. [2]
Нелинейное обобщение неравенства Гренуолла – Беллмана известно как неравенство Бихари – ЛаСалля . Другие варианты и обобщения можно найти у Pachpatte, BG (1998). [3]
Дифференциальная форма
Пусть I обозначают интервал от прямой формы [ , ∞) или [ с , Ь ] или [ с , б ) с в < Ь . Пусть β и у вещественности непрерывные функции , определенные на I . Если у является дифференцируемым в интерьере I о о I (интервал я без конца указует и , возможно , б ) и удовлетворяет дифференциальное неравенство
то u ограничено решением соответствующего дифференциального уравнения v ′ ( t ) = β ( t ) v ( t ) :
для всех т ∈ I .
Замечание: Нет никаких предположений о знаках функций β и u .
Доказательство
Определите функцию
Обратите внимание, что v удовлетворяет
с V ( ) = 1 и v ( т )> 0 для всех т ∈ I . По правилу частного
Таким образом, производная функции неположительна и функция ограничена сверху своим значением в начальной точке интервала :
что является неравенством Гренвалла.
Интегральная форма для непрерывных функций
Пусть I обозначают интервал от прямой формы [ , ∞) или [ с , Ь ] или [ с , б ) с в < Ь . Пусть α , β и у вещественности функция , определенная на я . Предположим , что & beta ; и у непрерывны и что отрицательная часть альфа интегрируема на каждом замкнутом и ограниченном отрезке от I .
- (a) Если β неотрицательно и если u удовлетворяет интегральному неравенству
- тогда
- (б) Если к тому же функция α неубывающая, то
Примечания:
- Нет никаких предположений о знаках функций α и u .
- По сравнению с дифференциальной формой дифференцируемость u для интегральной формы не требуется.
- Вариант неравенства Гренвалла, не требующий непрерывности β и u , см. В следующем разделе.
Доказательство
(а) Определить
Используя правило произведения , цепное правило , производную экспоненциальной функции и основную теорему исчисления , мы получаем для производной
где для оценки сверху использовалось предполагаемое интегральное неравенство. Поскольку β и экспонента неотрицательны, это дает оценку сверху для производной v . Поскольку v ( a ) = 0 , интегрирование этого неравенства от a до t дает
Используя определение v ( t ) для первого шага, а затем это неравенство и функциональное уравнение экспоненциальной функции, получаем
Подстановка этого результата в предполагаемое интегральное неравенство дает неравенство Гренвалла.
(b) Если функция α неубывающая, то часть (a), факт α ( s ) ≤ α ( t ) и основная теорема исчисления влекут, что
Интегральная форма с локально конечными мерами
Пусть I обозначают интервал от прямой формы [ , ∞) или [ с , Ь ] или [ с , б ) с в < Ь . Пусть α и U быть измеримые функции , определенные на I и пусть μ непрерывная неотрицательная мера на борелевской а-алгебры в I , удовлетворяющих μ ([ , т ]) <∞ для всех т ∈ I (это, конечно , доволен , когда μ - локально конечная мера ). Предположим, что u интегрируем по μ в том смысле, что
и что u удовлетворяет интегральному неравенству
Если, кроме того,
- функция α неотрицательна или
- функция t ↦ μ ([ a , t ]) непрерывна при t ∈ I, а функция α интегрируема по μ в том смысле, что
то u удовлетворяет неравенству Гренвалла
для всех t ∈ I , где I s, t обозначает открытый интервал ( s , t ) .
Замечания
- Предположения о непрерывности функций α и u отсутствуют .
- Интеграл в неравенстве Гренвалла может давать значение бесконечности.
- Если α - нулевая функция, а u неотрицательна, то из неравенства Гренвалла следует, что u - нулевая функция.
- Интегрируемость u по μ существенно для результата. В качестве контрпримера пусть μ обозначает меру Лебега на единичном интервале [0, 1] , определим u (0) = 0 и u ( t ) = 1 / t для t ∈ (0, 1] , и пусть α будет нулем функция.
- Версия, приведенная в учебнике С. Этье и Т. Курц. [4] делает более сильное предположение, что α - неотрицательная константа и u ограничено на ограниченных интервалах, но не предполагает, что мера μ локально конечна. По сравнению с приведенным ниже, их доказательство не обсуждает поведение остатка R n ( t ) .
Особые случаи
- Если мера μ имеет плотность β относительно меры Лебега, то неравенство Гренвалла можно переписать в виде
- Если функция α неотрицательна и плотность β функции μ ограничена константой c , то
- Если, кроме того, неотрицательная функция α неубывающая, то
Схема доказательства
Доказательство разбито на три этапа. Идея состоит в том, чтобы n раз подставить само предполагаемое интегральное неравенство . Это делается в п. 1 с использованием математической индукции. В утверждении 2 мы переписываем меру симплекса в удобном виде, используя перестановочную инвариантность мер произведения. На третьем шаге мы переходим к пределу n до бесконечности, чтобы получить искомый вариант неравенства Гренвалла.
Подробное доказательство
Утверждение 1. Повторение неравенства
Для каждого натурального числа n, включая ноль,
с остатком
где
является n- мерным симплексом и
Доказательство утверждения 1
Используем математическую индукцию . Для n = 0 это просто предполагаемое интегральное неравенство, потому что пустая сумма определяется как ноль.
Шаг индукции от n до n + 1 : вставка предполагаемого интегрального неравенства для функции u в остаток дает
с участием
Используя теорему Фубини – Тонелли, чтобы поменять местами два интеграла, получаем
Следовательно, утверждение 1 доказано для n + 1 .
Утверждение 2: Измерение симплекса
Для любого натурального числа n, включая ноль, и всех s < t в I
с равенством в случае т ↦ ц ([ , т ]) непрерывна при т ∈ I .
Доказательство утверждения 2
При n = 0 утверждение верно по нашим определениям. Поэтому рассмотрим n ≥ 1 в следующем.
Обозначим через S n множество всех перестановок индексов в {1, 2,. . . , n }. Для каждой перестановки σ ∈ S n определим
Эти множества не пересекаются для разных перестановок и
Следовательно,
Поскольку все они имеют одинаковую меру относительно n -кратного произведения μ , и поскольку существует n ! перестановок в S n , следует утвержденное неравенство.
Предположим теперь , что т ↦ ц ([ , т ]) непрерывна при т ∈ I . Тогда для разных индексов i , j ∈ {1, 2,. . . , n }, множество
содержится в гиперплоскости , поэтому по применению теоремы Фубини его мера относительно n- кратного произведения μ равна нулю. С
заявленное равенство следует.
Доказательство неравенства Гренвалла
Для любого натурального числа п , пункт 2 следует , для оставшейся части п.1 , который
По предположению μ ( I a , t ) <∞ . Следовательно, из предположения интегрируемости u следует, что
Из утверждения 2 и представления экспоненты в виде ряда следует оценка
для всех s < т в I . Если функция α неотрицательна, то достаточно вставить эти результаты в утверждение 1, чтобы вывести указанный выше вариант неравенства Гренвалла для функции u .
В случае т ↦ ц ([ , т ]) непрерывна при т ∈ I , пункт 2 дает
а интегрируемость функции α позволяет использовать теорему о доминируемой сходимости для вывода неравенства Гренволла.
Рекомендации
- ^ Гронуолл, Томас Х. (1919), "Замечание о производных по параметру решений системы дифференциальных уравнений", Ann. математики. , 20 (2): 292-296, СУЛ 47.0399.02 , JSTOR 1967124 , МР 1502565
- ^ Беллман, Ричард (1943), "Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений" , Duke Math. J. , 10 (4): 643-647, DOI : 10,1215 / s0012-7094-43-01059-2 , МР 0009408 , Zbl +0061,18502
- ^ Пачпатт, Б.Г. (1998). Неравенства для дифференциальных и интегральных уравнений . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 9780080534640.
- ^ Ethier, Steward N .; Курц, Томас Г. (1986), Марковские процессы, характеристика и конвергенция , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , с. 498, ISBN 0-471-08186-8, Руководство по ремонту 0838085 , Zbl 0592.60049
Смотрите также
- Логарифмическая норма для версии леммы Гронуолла, которая дает верхнюю и нижнюю границы нормы матрицы перехода состояний.
Эта статья включает материал из леммы Гронволла о PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .