Характеристики экспоненциальной функции

В математике , то экспоненциальная функция может быть характерно во многих отношениях. Следующие ниже характеристики (определения) являются наиболее распространенными. В этой статье обсуждается, почему каждая характеристика имеет смысл и почему характеристики независимы и эквивалентны друг другу. В качестве частного случая этих соображений будет продемонстрировано, что три наиболее распространенных определения математической константы e эквивалентны друг другу.

Характеристики [ править ]

Шесть наиболее распространенных определений экспоненциальной функции exp ( x ) = e ^x для действительного x :

1. Определить е ^х по пределу

${\ displaystyle e ^ {x} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}.}$

2. Определите e ^x как значение бесконечного ряда.

${\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} = 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2! }} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + \ cdots}$

(Здесь n ! Обозначает факториал числа n . Одно доказательство иррациональности e использует это представление.)

3. Определите e ^x как уникальное число y > 0 такое, что

${\displaystyle \int _{1}^{y}{\frac {dt}{t}}=x.}$

Это функция, обратная функции натурального логарифма , которая определяется этим интегралом.

4. Определите e ^x как единственное решение задачи начального значения.

${\displaystyle y'=y,\quad y(0)=1.}$

(Здесь y ′ обозначает производную от y .)

5. Экспоненциальная функция e ^x - это уникальная функция f с f (1) = e и f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) для всех x и y , удовлетворяющая любому из следующих дополнительных условий:

• е является измеримым по Лебегу (Hewitt и Стромберг, 1965, упражнения 18,46).
• е является непрерывным по меньшей мереодной точке (Рудин, 1976, глава 8, упражнение 6). (Как показано ниже, если f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) для всех x и y , и f непрерывен в любой отдельной точке, то f обязательно непрерывен всюду .)
• е является увеличение . (Возрастающая функция, которая согласуется с e ^x на рациональных числах, должна равняться e ^x .)

Для уникальности необходимо наложить некоторые дополнительные условия, подобные приведенным выше, поскольку в противном случае другие функции могут быть построены с использованием базиса для действительных чисел над рациональными числами , как описано Хьюиттом и Стромбергом.

Можно также заменить f (1) = e и «дополнительное условие» единственным условием f ′ (0) = 1 .

6. Пусть e - единственное положительное действительное число, удовлетворяющее

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1.}$

Можно показать, что этот предел существует. Затем определите e ^x как экспоненциальную функцию с этим основанием. Это определение особенно подходит для вычисления производной экспоненциальной функции.

Большие домены [ править ]

Один из способов определения экспоненциальной функции для областей, больших, чем область действительных чисел, состоит в том, чтобы сначала определить ее для области действительных чисел, используя одну из приведенных выше характеристик, а затем расширить ее на более крупные области таким образом, который будет работать для любой аналитической функции. .

Также возможно использовать характеристики непосредственно для более крупной области, хотя могут возникнуть некоторые проблемы. Все (1), (2) и (4) имеют смысл для произвольных банаховых алгебр . (3) представляет проблему для комплексных чисел, потому что существуют неэквивалентные пути, по которым можно было бы интегрировать, а (5) недостаточно. Например, функция f определена (для вещественных x и y ) как

${\displaystyle f(x+iy)=e^{x}(\cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}$

удовлетворяет условиям (5), но не является экспоненциальной функцией от  x  +  iy . Чтобы сделать (5) достаточным для области комплексных чисел, можно либо указать, что существует точка, в которой f является конформным отображением, либо указать, что

${\displaystyle f(i)=\cos(1)+i\sin(1).}$

В частности, альтернативное условие в (5) является достаточным, поскольку оно неявно требует, чтобы функция f была конформной.${\displaystyle f'(0)=1}$

Доказательство того, что каждая характеристика имеет смысл [ править ]

Некоторые из этих определений требуют обоснования, чтобы продемонстрировать, что они четко определены . Например, когда значение функции определяется как результат ограничивающего процесса (т. Е. Бесконечной последовательности или ряда ), необходимо продемонстрировать, что такой предел всегда существует.

Характеристика 2 [ править ]

С

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x^{n+1}/(n+1)!}{x^{n}/n!}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}$

из теста отношения следует, что сходится для всех x .${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Характеристика 3 [ править ]

Так как подынтегральная является интегрируемой функцией от т , корректно определено интегральное выражение. Необходимо показать, что функция от до определяется${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{1}^{(\cdot )}{\frac {dt}{t}}}$

это биекция . Поскольку 1 / t положительна при положительном t , эта функция строго возрастает , следовательно, инъективна . Если два интеграла

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {dt}{t}}&=\infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}}$

держите, то оно тоже сюръективно . Действительно, эти интегралы делать захват; они следуют из интегрального теста и расходимости гармонического ряда .

Эквивалентность характеристик [ править ]

Следующее доказательство демонстрирует эквивалентность первых трех характеризаций, данных для e выше. Доказательство состоит из двух частей. Сначала устанавливается эквивалентность характеризаций 1 и 2, а затем устанавливается эквивалентность характеризаций 1 и 3. Также приводятся аргументы, связывающие другие характеристики.

Эквивалентность характеристик 1 и 2 [ править ]

Следующее рассуждение адаптировано из доказательства у Рудина, теорема 3.31, с. 63–65.

Позвольте быть фиксированным неотрицательным действительным числом. Определять${\displaystyle x\geq 0}$

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {x^{k}}{k!}},\ t_{n}=\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

По бинома Ньютона ,

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n}\end{aligned}}}$

(используя x  ≥ 0 для получения окончательного неравенства), так что

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }s_{n}=e^{x}}$

где e ^x находится в смысле определения 2. Здесь необходимо использовать limsups , потому что неизвестно, сходится ли t _n . Для другого направления, согласно приведенному выше выражению t _n , если 2 ≤  m ≤ n ,

${\displaystyle 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {m-1}{n}}\right)\leq t_{n}.}$

Зафиксируем m и позволим n стремиться к бесконечности. потом

${\displaystyle s_{m}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{m}}{m!}}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$

(опять же, нужно использовать liminf, потому что неизвестно, сходится ли t _n ). Теперь, принимая вышеупомянутое неравенство, позволяя m стремиться к бесконечности и складывая его вместе с другим неравенством, получаем

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }t_{n}\leq e^{x}\leq \liminf _{n\to \infty }t_{n}}$

чтобы

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=e^{x}.}$

Эту эквивалентность можно расширить до отрицательных действительных чисел, отметив и взяв предел, когда n стремится к бесконечности.${\displaystyle \left(1-{\frac {r}{n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{n^{2}}}\right)^{n}}$

Член ошибки этого предельного выражения описывается следующим образом:

${\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{24n^{2}}}+\cdots \right),}$

где степень многочлена (по x ) в члене со знаминателем n ^k равна 2 k .

Эквивалентность характеристик 1 и 3 [ править ]

Здесь функция натурального логарифма определяется в терминах определенного интеграла, как указано выше. Согласно первой части основной теоремы исчисления ,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {d}{dx}}\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={\frac {1}{x}}.}$

Кроме, ${\displaystyle \ln 1=\int _{1}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt=0}$

Теперь пусть x - любое фиксированное действительное число, и пусть

${\displaystyle y=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Ln ( y ) = x , откуда следует, что y = e ^x , где e ^x в смысле определения 3. Имеем

${\displaystyle \ln y=\ln \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Здесь используется непрерывность ln ( y ), которая следует из непрерывности 1 / t :

${\displaystyle \ln y=\lim _{n\to \infty }n\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}$

Здесь использовался результат ln a ⁿ = n ln a . Этот результат может быть получен для натурального числа n индукцией или интегрированием подстановкой. (Расширение до реальных степеней должно ждать, пока ln и exp не будут установлены как обратные друг другу, так что a ^b может быть определено для действительного b как e ^{b ln a} .)

${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)}{h}}\quad {\text{ where }}h={\frac {x}{n}}}$

${\displaystyle =x\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {\ln \left(1+h\right)-\ln 1}{h}}}$

${\displaystyle =x\cdot {\frac {d}{dt}}\ln t{\Bigg |}_{t=1}}$

${\displaystyle \!\,=x.}$

Эквивалентность характеристик 3 и 4 [ править ]

Характеристика 3 включает определение натурального логарифма до определения экспоненциальной функции. Первый,

${\displaystyle \log x:=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}$

Это означает, что натуральный логарифм равен (знаковой) площади под графиком между и . Если , то эта область считается отрицательной. Тогда определяется как обратное , что означает, что${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/t}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle t=x}$${\displaystyle x<1}$${\displaystyle \exp }$${\displaystyle \log }$

${\displaystyle \exp(\log(x))=x{\text{ and }}\log(\exp(x))=x}$

по определению обратной функции. Если - положительное действительное число, то определяется как . Наконец, определяется как такое число , что . Затем можно показать, что :${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{x}}$${\displaystyle \exp(x\log(a))}$${\displaystyle e}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \log(a)=1}$${\displaystyle e^{x}=\exp(x)}$

${\displaystyle e^{x}=\exp(x\log(e))=\exp(x)}$

По основной теореме исчисления производная от . Теперь мы можем доказать это , удовлетворяя первой части задачи начального значения, данной в характеристике 4:${\displaystyle \log x={\frac {1}{x}}}$${\displaystyle {\frac {d(e^{x})}{dx}}=e^{x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\\{\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{aligned}}}$

Затем мы просто должны отметить это , и все готово. Конечно, гораздо проще показать, что характеристика 4 подразумевает характеристику 3. Если - единственная функция, удовлетворяющая , и , то может быть определена как ее обратная. Производную от можно найти следующим образом:${\displaystyle e^{0}=\exp(0)=1}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$${\displaystyle f(0)=1}$${\displaystyle \log }$${\displaystyle \log }$

${\displaystyle y=\log x\implies x=e^{y}}$

Если мы дифференцируем обе стороны по , мы получим${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dy}}&=e^{y}\\{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1=\log x-0=\log x}$

Эквивалентность характеристик 2 и 4 [ править ]

Пусть n - целое неотрицательное число. В смысле определения 4 и по индукции . ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}=y}$

Следовательно ${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=0}=y(0)=1.}$

Используя ряд Тейлора , это показывает, что из определения 4 следует определение 2.${\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

В смысле определения 2,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}e^{x}&={\frac {d}{dx}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nx^{n-1}}{n!}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{(n-1)!}}\\[6pt]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},{\text{ where }}k=n-1\\[6pt]&=e^{x}\end{aligned}}}$

Кроме того, это показывает, что из определения 2 следует определение 4.${\displaystyle e^{0}=1+0+{\frac {0^{2}}{2!}}+{\frac {0^{3}}{3!}}+\cdots =1.}$

Эквивалентность характеристик 1 и 5 [ править ]

Следующее доказательство является упрощенной версией доказательства Хьюитта и Стромберга, упражнение 18.46. Сначала доказывается, что измеримость (или здесь, интегрируемость по Лебегу) влечет непрерывность для ненулевой функции, удовлетворяющей , а затем доказывается, что непрерывность влечет для некоторого k и, наконец, влечет k = 1.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$${\displaystyle f(1)=e}$

Во-первых, доказываются несколько элементарных свойств из выполнения и предположение, которое не является тождественным нулем:${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}$${\displaystyle f(x)}$

• Если где-то ненулевое значение (скажем, при x = y ), то оно не равно нулю везде. Доказательство: подразумевается .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(y)=f(x)f(y-x)\neq 0}$${\displaystyle f(x)\neq 0}$
• ${\displaystyle f(0)=1}$. Доказательство: и не равно нулю.${\displaystyle f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)}$${\displaystyle f(x)}$
• ${\displaystyle f(-x)=1/f(x)}$. Доказательство .${\displaystyle 1=f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)}$
• Если он непрерывен где-либо (скажем, в точке x = y ), то он непрерывен всюду. Доказательство , как по непрерывности на  у .${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x+\delta )-f(x)=f(x-y)[f(y+\delta )-f(y)]\rightarrow 0}$${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$

Второе и третье свойства означают, что этого достаточно для положительного  x .${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

Если - интегрируемая по Лебегу функция , то${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(x')\,dx'.}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle g(x+y)-g(x)=\int _{x}^{x+y}f(x')\,dx'=\int _{0}^{y}f(x+x')\,dx'=f(x)g(y).}$

Так как не равно нулю, можно выбрать некоторый y так , чтобы и найти в приведенном выше выражении. Следовательно:${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle g(y)\neq 0}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x+\delta )-f(x)&={\frac {[g(x+\delta +y)-g(x+\delta )]-[g(x+y)-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}=g(\delta ){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{aligned}}}$

Последнее выражение должно быть равно нулю, так как и является непрерывным. Отсюда следует, что непрерывно.${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$${\displaystyle g(0)=0}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f(x)}$

Теперь можно доказать для некоторого k для всех положительных рациональных чисел q . Пусть q = n / m для натуральных чисел n и m . потом${\displaystyle f(q)=e^{kq}}$

${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}}$

элементарной индукцией по n . Следовательно, и таким образом${\displaystyle f(1/m)^{m}=f(1)}$

${\displaystyle f\left({\frac {n}{m}}\right)=f(1)^{n/m}=e^{k(n/m)}.}$

для . Если ограничиться действительными значениями , то везде положительно, и поэтому k вещественно.${\displaystyle k=\ln[f(1)]}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)=f(x/2)^{2}}$

Наконец, по непрерывности, так как для всех рациональных x это должно быть истинным для всех действительных x, поскольку замыкание рациональных чисел - это действительные числа (то есть любой действительный x может быть записан как предел последовательности рациональных чисел). Если тогда k = 1. Это эквивалентно характеристике 1 (или 2, или 3), в зависимости от того, какое эквивалентное определение e используется.${\displaystyle f(x)=e^{kx}}$${\displaystyle f(1)=e}$

Характеристика 2 подразумевает характеристику 6 [ править ]

В смысле определения 2, ^[1]

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)}$

${\displaystyle =\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\cdots \right)}$

${\displaystyle =1}$

Характеристика 5 подразумевает характеристику 4 [ править ]

Условия f ' (0) = 1 и f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) подразумевают оба условия в характеризации 4. Действительно, можно получить начальное условие f (0) = 1 , разделив обе части уравнение

${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)f(0)}$

на f (0) , а условие f ′ ( x ) = f ( x ) следует из условия f ′ (0) = 1 и определения производной следующим образом:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccccc}f'(x)&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0}f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(h)-1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x)f'(0)=f(x).\end{array}}}$

Характеристика 6 подразумевает характеристику 4 [ править ]

В смысле определения 6, между прочим , следовательно, из определения 6 следует определение 4.${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}.}$${\displaystyle e^{0}=1}$

Ссылки [ править ]

• Вальтер Рудин , Принципы математического анализа , 3-е издание (McGraw – Hill, 1976), глава 8.
• Эдвин Хьюитт и Карл Стромберг, Реальный и абстрактный анализ (Springer, 1965).