В математике и, в частности, реального анализа , в производных Дини (или Дини дериватов ) представляют собой класс обобщений производной . Они были введены Улиссом Дини, который изучал непрерывные, но недифференцируемые функции, для которых он определил так называемые производные Дини.
Верхняя производная Дини , которая также называется верхней правой производной , [1] из непрерывной функции
обозначается f и определяется
где lim sup - предел супремума, а предел - односторонний предел . Ниже Дини производной , е, определяется
где lim inf - нижний предел .
Если f определена в векторном пространстве , то верхняя производная Дини в точке t в направлении d определяется формулой
Если е является локально Липшица , то еконечно. Если F является дифференцируемым при т , то производная Дини в т является обычной производной по т .
Замечания
- Функции определены в терминах точной и верхней граней , чтобы сделать производные Дини как можно более «пуленепробиваемыми», так что производные Дини четко определены почти для всех функций, даже для функций, которые не являются условно дифференцируемыми. Результатом анализа Дини является то , что функция дифференцируема в точке т на вещественной прямой ( ℝ ), только если существуют все производные Дини, и имеют такое же значение.
- Иногда вместо f используется обозначение D + f ( t ).( t ) и D - f ( t ) используется вместо f( т ) . [1]
- Также,
а также
- .
- Таким образом, при использовании обозначения D производных Дини знак плюс или минус указывает левый или правый предел, а размещение знака указывает предел точной или верхней грани .
- Есть еще две производные Дини, определяемые как
а также
- .
которые такие же, как первая пара, но с перевернутыми супремумом и инфимумом . Только для функций с умеренно плохим поведением две дополнительные производные Дини не нужны. Для функций с особенно плохим поведением, если все четыре производные Дини имеют одинаковое значение (), то функция f дифференцируема в обычном смысле в точке t .
- В расширенных вещественных числах всегда существует каждая из производных Дини; однако они могут иногда принимать значения + ∞ или −∞ (т. е. производные Дини всегда существуют в расширенном смысле).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Халил, Хасан К. (2002). Нелинейные системы (3-е изд.). Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 0-13-067389-7.
- Лукашенко, Т.П. (2001) [1994], "Производная Дини" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Ройден, HL (1968). Реальный анализ (2-е изд.). Макмиллан. ISBN 978-0-02-404150-0.
- Томсон, Брайан С .; Брукнер, Джудит Б .; Брукнер, Эндрю М. (2008). Элементарный реальный анализ . ClassicalRealAnalysis.com [первое издание, опубликованное Prentice Hall в 2001 году]. С. 301–302. ISBN 978-1-4348-4161-2.
Эта статья включает материал из производной программы Dini на сайте PlanetMath , которая находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License . [ неудачная проверка ]