В математике говорят, что математический объект удовлетворяет свойству локально , если свойство выполняется в некоторых ограниченных, непосредственных частях объекта (например, в некоторых достаточно малых или сколь угодно малых окрестностях точек). [1]
Свойства точки на функции
Пожалуй, наиболее известным примером идеи локальности лежит в концепции локального минимума (или локального максимума ), которая является точкой в функции которой функциональное значение является наименьшим (соответственно, самый большой) в пределах непосредственной окрестности точек. [2] Это должно контрастировать с идеей глобального минимума (или глобального максимума), который соответствует минимуму (соответственно максимуму) функции во всей ее области. [3] [4]
Свойства единого пространства
Топологическое пространство иногда говорят, обладает свойством локально , если свойство проявляются «вблизи» каждая точка в одном из следующих способов:
- У каждой точки есть окрестности, демонстрирующие собственность;
- Каждая точка имеет базу окрестностей наборов, демонстрирующих свойство.
Здесь обратите внимание, что условие (2) по большей части сильнее, чем условие (1), и что следует проявлять особую осторожность, чтобы различать их. Например, некоторое изменение в определении локально компактного может возникнуть в результате различного выбора этих условий.
Примеры
- Локально компактные топологические пространства [5]
- Локально связные и Локально линейно связанные топологические пространства
- Локально Хаусдорф , Локально обычный , Локально нормальный и т. Д.
- Локально метризуемый
Свойства пары пространств
С учетом некоторого понятия эквивалентности (например, гомеоморфизма , диффеоморфизма , изометрии ) между топологическими пространствами два пространства называются локально эквивалентными, если каждая точка первого пространства имеет окрестность, эквивалентную окрестности второго пространства.
Например, круг и линия - очень разные объекты. Нельзя растянуть круг, чтобы он выглядел как линия, или сжать линию, чтобы она соответствовала кругу без пробелов или перекрытий. Однако небольшой кусок круга можно растянуть и расплющить, чтобы он выглядел как маленький кусочек линии. По этой причине можно сказать, что круг и линия локально эквивалентны.
Точно так же сфера и плоскость локально эквивалентны. Достаточно маленький наблюдатель, стоящий на поверхности сферы (например, человек и Земля), обнаружил бы, что она неотличима от плоскости.
Свойства бесконечных групп
Для бесконечной группы под «малой окрестностью» понимается конечно порожденная подгруппа . Бесконечная группа называется локально Р , если каждая конечно порожденная подгруппа Р . Например, группа является локально конечным , если каждая конечно порожденная подгруппа конечна, а группа локально растворимы , если каждая конечно порожденная подгруппа растворимы .
Свойства конечных групп
Для конечных групп под «малой окрестностью» понимается подгруппа, определенная в терминах простого числа p , обычно локальных подгрупп , нормализаторов нетривиальных p -подгрупп . В этом случае свойство называется локальным, если оно может быть обнаружено в локальных подгруппах. Глобальные и локальные свойства составили значительную часть ранних работ по классификации конечных простых групп , которые проводились в 1960-х годах.
Свойства коммутативных колец
Для коммутативных колец идеи алгебраической геометрии делают естественным принятие «малой окрестности» кольца в качестве локализации на простом идеале . В этом случае свойство называется локальным, если оно может быть обнаружено из локальных колец . Например, быть плоским модулем над коммутативным кольцом - это локальное свойство, а быть свободным - нет. Для получения дополнительной информации см. Локализация модуля .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - местный" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 30 ноября 2019 .
- ^ «Определение локального-максимального | Dictionary.com» . www.dictionary.com . Проверено 30 ноября 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Локальный минимум» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 ноября 2019 .
- ^ «Максимумы, минимумы и седловые точки» . Ханская академия . Проверено 30 ноября 2019 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Локально компактный» . mathworld.wolfram.com . Проверено 30 ноября 2019 .