В математике , то нижний предел и предел превосходит из последовательности можно рассматривать как ограничение (то есть, возможные и крайние) оценок на последовательности. Их можно рассматривать аналогичным образом для функции (см. Предел функции ). Для набора это нижняя грань и верхняя грань его предельных точек соответственно. В общем, когда есть несколько объектов, вокруг которых накапливается последовательность, функция или набор, нижний и верхний пределы извлекают самый маленький и самый большой из них; тип объекта и мера размера зависят от контекста, но понятие крайних пределов остается неизменным. Предел нижнего еще называютинфимум предел , предел инфимум , liminf , нижний предел , нижний предел , или внутренний предел ; Предел превосходит также известно как супремум предел , предел супремум , limsup , верхний предел , верхний предел , или внешнюю граница .
Нижний предел последовательности обозначается
Верхний предел последовательности обозначается
Определение последовательностей
Нижний предел последовательности ( x n ) определяется формулой
или же
Точно так же верхний предел ( x n ) определяется формулой
или же
В качестве альтернативы обозначения а также иногда используются.
Верхние и нижние пределы могут быть эквивалентно определены с использованием концепции подпоследовательных пределов последовательности. . [1] Элемент расширенных действительных чисел является повлечет последующий предел в если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел такой, что . Если - множество всех подпоследовательных пределов , тогда
а также
Если члены в последовательности являются действительными числами, верхний предел и нижний предел всегда существуют, поскольку действительные числа вместе с ± ∞ (т. Е. Строка с расширенными действительными числами ) являются полными . В более общем смысле, эти определения имеют смысл в любом частично упорядоченном множестве , при условии, что верхняя и нижняя границы существуют, например, в полной решетке .
Когда существует обычный предел, оба предела ниже и выше равны ему; поэтому каждый из них можно рассматривать как обобщение обычного предела, который в первую очередь интересен в случаях, когда предел не существует. Когда существуют как lim inf x n, так и lim sup x n , мы имеем
Нижний / верхний пределы связаны с нотацией большого О в том смысле, что они ограничивают последовательность только «в пределе»; последовательность может выходить за границы. Однако с обозначением большого O последовательность может превышать границу только в конечном префиксе последовательности, тогда как верхний предел последовательности, такой как e - n, может фактически быть меньше, чем все элементы последовательности. Единственное обещание состоит в том, что некоторый хвост последовательности может быть ограничен сверху верхним пределом плюс сколь угодно малой положительной константой и ограничен снизу нижним пределом минус произвольно малая положительная константа.
Верхний предел и нижний предел последовательности являются частным случаем таковых для функции (см. Ниже).
Случай последовательностей действительных чисел
В математическом анализе верхний предел и нижний предел являются важными инструментами для изучения последовательностей действительных чисел . Поскольку супремум и нижняя грань неограниченного набора действительных чисел могут не существовать (действительные числа не являются полной решеткой), удобно рассматривать последовательности в аффинно расширенной системе действительных чисел : мы добавляем положительные и отрицательные бесконечности к действительной прямой чтобы дать полное вполне упорядоченное множество [−∞, ∞], которое является полной решеткой.
Интерпретация
Рассмотрим последовательность состоящий из действительных чисел. Предположим, что верхний предел и нижний предел являются действительными числами (а значит, не бесконечными).
- Предел выше это наименьшее действительное число такое, что для любого положительного действительного числа , существует натуральное число такой, что для всех . Другими словами, любое число, превышающее верхний предел, является конечной верхней границей для последовательности. Только конечное число элементов последовательности больше, чем.
- Предел ниже это наибольшее действительное число такое, что для любого положительного действительного числа , существует натуральное число такой, что для всех . Другими словами, любое число ниже нижнего предела является конечной нижней границей для последовательности. Только конечное число элементов последовательности меньше, чем.
Характеристики
Взаимосвязь нижнего предела и верхнего предела для последовательностей действительных чисел выглядит следующим образом:
Как упоминалось ранее, удобно расширять до [−∞, ∞]. Тогда ( x n ) в [−∞, ∞] сходится тогда и только тогда, когда
в таком случае равна их общей ценности. (Обратите внимание, что при работе только в, сходимость к −∞ или ∞ не рассматривалась бы как сходимость.) Поскольку нижний предел является не более чем верхним пределом, выполняются следующие условия
Если а также , то интервал [ I , S ] не обязательно должен содержать какое-либо из чисел x n , но любое небольшое увеличение [ I - ε, S + ε] (для сколь угодно малого ε> 0) будет содержать x n для всех, кроме конечного числа индексов п . Фактически, интервал [ I , S ] - это наименьший отрезок с этим свойством. Мы можем формализовать это свойство так: существуют подпоследовательности а также из (где а также монотонны), для которых имеем
С другой стороны, существует так что для всех
Резюмируя:
- Если больше верхнего предела, существует не более конечного числа больше чем ; если меньше, их бесконечно много.
- Если меньше нижнего предела, существует не более конечного числа меньше, чем ; если больше, их бесконечно много.
В общем имеем что
Liminf и limsup последовательности являются соответственно наименьшей и наибольшей точками кластера .
- Для любых двух последовательностей действительных чисел , верхний предел удовлетворяет субаддитивности всякий раз, когда определена правая часть неравенства (т. е. не или же ):
- .
Аналогично, нижний предел удовлетворяет супераддитивности :
В частном случае, когда одна из последовательностей действительно сходится, скажем, , то приведенные выше неравенства переходят в равенства (с или же заменяется ).
- Для любых двух последовательностей неотрицательных действительных чисел , неравенства
а также
держать, когда правая часть не имеет формы .
Если существует (включая случай ) а также , тогда при условии, что не в форме .
Примеры
- В качестве примера рассмотрим последовательность, заданную как x n = sin ( n ). Используя тот факт , что пи является иррациональной , можно показать , что
а также
(Это потому, что последовательность {1,2,3, ...} равнораспределена по модулю 2π , что является следствием теоремы о равнораспределении .)
- Пример из теории чисел :
где р п представляет собой N -го простое число . Предполагается, что значение этого нижнего предела равно 2 - это гипотеза двойного простого числа - но по состоянию на апрель 2014 г.[Обновить]только было доказано, что он меньше или равен 246. [2] Соответствующий верхний предел, потому что между последовательными простыми числами есть произвольные промежутки .
Функции с действительным знаком
Предположим, что функция определяется от подмножества действительных чисел к действительным числам. Как и в случае с последовательностями, нижний предел и верхний предел всегда четко определены, если мы допускаем значения + ∞ и -∞; фактически, если оба согласны, то предел существует и равен их общему значению (опять же, возможно, включая бесконечности). Например, если f ( x ) = sin (1 / x ), имеем lim sup x → 0 f ( x ) = 1 и lim inf x → 0 f ( x ) = -1. Разница между ними является грубой мерой того , как «дико» функциональным осциллирует, и в наблюдении за этот факт, что называется колебанием из е в 0 . Этой идеи осцилляции достаточно, например, чтобы охарактеризовать интегрируемые по Риману функции как непрерывные, за исключением множества с нулевой мерой . [3] Обратите внимание, что точки ненулевых колебаний (то есть точки, в которых f « ведет себя плохо ») являются разрывами, которые, если они не составляют набор из нуля, ограничены незначительным набором.
Функции от метрических пространств до полных решеток
Существует понятие lim sup и lim inf для функций, определенных на метрическом пространстве , отношение которых к пределам вещественнозначных функций отражает отношение между lim sup, lim inf и пределом реальной последовательности. Возьмем метрическое пространство X , подпространство Е , содержащееся в X , и функция F : E → R . Определите, для любой граничной точки а в Е ,
а также
где B ( a ; ε) обозначает метрический шар радиуса ε вокруг a .
Заметим, что при сжатии ε супремум функции по шару монотонно убывает, поэтому мы имеем
и аналогично
Это, наконец, мотивирует определения общих топологических пространств. Возьмем X , E и a, как раньше, но пусть теперь X - топологическое пространство. В этом случае заменим метрические шары окрестностями:
(есть способ записать формулу с помощью "lim", используя сети и фильтр соседства). Эта версия часто бывает полезна при обсуждениях полунепрерывности, которые довольно часто возникают при анализе. Интересно отметить, что эта версия включает последовательную версию, рассматривая последовательности как функции от натуральных чисел как топологическое подпространство расширенной действительной прямой, в пространство (замыкание N в [−∞, ∞], расширенное действительное число линия , является N ∪ {∞}.)
Последовательности наборов
Силовой агрегат ℘ ( Х ) из множества X является полной решеткой , которая заказана множеством включения , и так супремума и инфимума любого множества подмножеств (в терминах множество включения) всегда существует. В частности, каждое подмножество Y из X ограничена сверху X и снизу пустого множества ∅ , так как ∅ ⊆ Y ⊆ X . Следовательно, можно (а иногда и полезно) рассматривать верхний и нижний пределы последовательностей в ( X ) (т. Е. Последовательности подмножеств X ).
Есть два распространенных способа определить предел последовательностей множеств. В обоих случаях:
- Последовательность накапливается вокруг наборов точек, а не вокруг самих точек. То есть, поскольку каждый элемент последовательности сам по себе является набором, существуют наборы накопления , которые каким-то образом находятся рядом с бесконечным количеством элементов последовательности.
- Верхний / верхний / внешний предел - это набор, который объединяет эти наборы накопления вместе. То есть это объединение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению набора предел супремума является наименьшей верхней границей набора точек накопления, поскольку он содержит каждую из них. Следовательно, это верхняя грань предельных точек.
- Нижняя / нижняя / внутренняя граница - это набор, в котором встречаются все эти наборы накопления . То есть это пересечение всех наборов накопления. При упорядочивании по включению набора предел инфимума является наибольшей нижней границей набора точек накопления, поскольку он содержится в каждой из них. Следовательно, это нижняя грань предельных точек.
- Поскольку упорядочение осуществляется включением множества, то внешний предел всегда будет содержать внутренний предел (т. Е. Lim inf X n ⊆ lim sup X n ). Следовательно, при рассмотрении сходимости последовательности множеств обычно достаточно рассмотреть сходимость внешнего предела этой последовательности.
Разница между двумя определениями заключается в том, как определяется топология (т. Е. Как количественно определить разделение). На самом деле, второе определение идентично первым , когда дискретная метрика используется , чтобы вызвать топологию на X .
Сходимость общих наборов
В этом случае последовательность наборов приближается к ограничивающему набору, когда элементы каждого члена последовательности приближаются к элементам ограничивающего набора. В частности, если { X n } - последовательность подмножеств X , то:
- lim sup X n , который также называется внешним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в X n, взятых из (счетного) бесконечного числа n . То есть x ∈ lim sup X n тогда и только тогда, когда существует последовательность точек x k и подпоследовательность { X n k } из { X n } такие, что x k ∈ X n k и x k → x при k → ∞.
- lim inf X n , который также называется внутренним пределом , состоит из тех элементов, которые являются пределами точек в X n для всех, кроме конечного числа n (т. е. cконечно многих n ). То есть x ∈ lim inf X n тогда и только тогда, когда существует последовательность точек { x k } такая, что x k ∈ X k и x k → x при k → ∞.
Предел lim X n существует тогда и только тогда, когда lim inf X n и lim sup X n согласованы, и в этом случае lim X n = lim sup X n = lim inf X n . [4]
Частный случай: дискретная метрика
Это определение , используемое в теории меры и вероятности . Дальнейшее обсуждение и примеры с теоретико-множественной точки зрения, в отличие от топологической точки зрения, обсуждаемой ниже, находятся на теоретико-множественном пределе .
Согласно этому определению последовательность наборов приближается к предельному набору, когда ограничивающий набор включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного множества наборов последовательности, и не включает элементы, которые находятся во всех, кроме конечного числа, дополнений наборов последовательности. То есть этот случай конкретизирует общее определение, когда топология на множестве X индуцируется дискретной метрикой .
В частности, для точек x ∈ X и y ∈ X дискретная метрика определяется формулой
при котором последовательность точек { x k } сходится к точке x ∈ X тогда и только тогда, когда x k = x для всех, кроме конечного числа k . Следовательно, если предельное множество существует, оно содержит точки и только те точки, которые находятся во всех, кроме конечного числа множеств последовательности. Поскольку сходимость в дискретной метрике является самой строгой формой сходимости (т. Е. Требует больше всего), это определение предельного множества является наиболее строгим из возможных.
Если { X n } является последовательностью подмножеств X , то всегда существует следующее:
- lim sup X n состоит из элементов X, которые принадлежат X n для бесконечного числа n (см. счетно бесконечное число ). То есть x ∈ lim sup X n тогда и только тогда, когда существует подпоследовательность { X n k } из { X n } такая, что x ∈ X n k для всех k .
- lim inf X n состоит из элементов X, которые принадлежат X n для всех, кроме конечного числа n (т. е. для коконечно большого числа n ). То есть x ∈ lim inf X n тогда и только тогда, когда существует m > 0 такое, что x ∈ X n для всех n > m .
Заметим, что x ∈ lim sup X n тогда и только тогда, когда x ∉ lim inf X n c .
- Lim X n существует тогда и только тогда, когда lim inf X n и lim sup X n согласованы, и в этом случае lim X n = lim sup X n = lim inf X n .
В этом смысле последовательность имеет предел до тех пор, пока каждая точка в X либо появляется во всех, кроме конечного числа X n, либо появляется во всех, кроме конечного числа X n c . [5]
Используя стандартный язык теории множеств, включение множеств обеспечивает частичное упорядочение набора всех подмножеств X, что позволяет пересечению множеств генерировать наибольшую нижнюю границу и объединению множеств, чтобы генерировать наименьшую верхнюю границу. Таким образом, точная нижняя грань или совпадение набора подмножеств является точной нижней границей, а верхняя грань или соединение - точной верхней границей. В этом контексте внутренний предел, lim inf X n , является наибольшим соединением хвостов последовательности, а внешний предел, lim sup X n , является наименьшим соединением хвостов последовательности. Следующее уточняет это.
- Пусть I n - пересечение n- го хвоста последовательности. Это,
- Последовательность { I n } неубывающая ( I n ⊆ I n +1 ), потому что каждое I n +1 является пересечением меньшего количества множеств, чем I n . Наименьшая верхняя граница этой последовательности встреч хвостов равна
- Таким образом, предельная нижняя грань содержит все подмножества, которые являются нижними границами для всех, кроме конечного числа наборов последовательности.
- Аналогично, пусть J n будет объединением n- го хвоста последовательности. Это,
- Последовательность { J п } не возрастает ( J п ⊇ J п +1 ) , так как каждый J п + 1 является объединением множеств меньшим , чем J н . Наибольшая нижняя граница этой последовательности соединений хвостов равна
- Таким образом, предельная верхняя грань содержится во всех подмножествах, которые являются верхними границами для всех, кроме конечного числа наборов последовательности.
Примеры
Ниже приводится несколько примеров сходимости набора. Они были разбиты на секции относительно метрики для индукции топологии на множестве X .
- Используя дискретную метрику
- Бореля-Кантелли представляет собой пример применения этих конструкций.
- Используя дискретную метрику или евклидову метрику
- Рассмотрим множество X = {0,1} и последовательность подмножеств:
- «Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности: {{0}, {0}, {0}, ...} и {{1}, {1}, {1}, ... }, которые имеют предельные точки 0 и 1 соответственно, поэтому внешний или верхний предел - это набор {0,1} этих двух точек. Однако нет предельных точек, которые можно взять из последовательности { X n } в целом, и поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество {}. Это,
- lim sup X n = {0,1}
- lim inf X n = {}
- Однако для { Y n } = {{0}, {0}, {0}, ...} и { Z n } = {{1}, {1}, {1}, ...}:
- lim sup Y n = lim inf Y n = lim Y n = {0}
- lim sup Z n = lim inf Z n = lim Z n = {1}
- Рассмотрим набор X = {50, 20, -100, -25, 0, 1} и последовательность подмножеств:
- Как и в двух предыдущих примерах,
- lim sup X n = {0,1}
- lim inf X n = {}
- То есть четыре элемента, которые не соответствуют шаблону, не влияют на lim inf и lim sup, потому что их только конечное количество. Фактически, эти элементы могут быть размещены в любом месте последовательности (например, в позициях 100, 150, 275 и 55000). Пока сохраняются хвосты последовательности, внешние и внутренние границы не изменятся. Связанные концепции существенных внутренних и внешних пределов, которые используют существенную верхнюю границу и существенную нижнюю границу , обеспечивают важную модификацию, которая «раздавливает» счетное множество (а не только конечное множество) промежуточных добавлений.
- Использование евклидовой метрики
- Рассмотрим последовательность подмножеств рациональных чисел :
- «Нечетные» и «четные» элементы этой последовательности образуют две подпоследовательности: {{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...} и {{1}, { 1/2}, {1/3}, {1/4}, ...}, которые имеют точки ограничения 1 и 0 соответственно, и поэтому внешний или верхний предел - это набор {0,1} этих двух точки. Однако нет предельных точек, которые можно взять из последовательности { X n } в целом, и поэтому внутренним или нижним пределом является пустое множество {}. Итак, как и в предыдущем примере,
- lim sup X n = {0,1}
- lim inf X n = {}
- Однако для { Y n } = {{0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...} и { Z n } = {{1}, {1/2 }, {1/3}, {1/4}, ...}:
- lim sup Y n = lim inf Y n = lim Y n = {1}
- lim sup Z n = lim inf Z n = lim Z n = {0}
- В каждом из этих четырех случаев элементы предельных множеств не являются элементами ни одного из множеств исходной последовательности.
- Предел Ω (т. Е. Предельное множество ) решения динамической системы - это внешний предел траекторий решения системы. [4] : 50–51 Поскольку траектории становятся все ближе и ближе к этому предельному набору, хвосты этих траекторий сходятся к предельному набору.
- Например, система LTI, которая представляет собой каскадное соединение нескольких стабильных систем с незатухающей системой LTI второго порядка (то есть с нулевым коэффициентом демпфирования ), будет бесконечно колебаться после возмущения (например, идеальный колокол после удара). Следовательно, если положение и скорость этой системы сопоставлены друг с другом, траектории будут приближаться к кругу в пространстве состояний . Этот круг, который является предельным множеством Ω системы, является внешним пределом траекторий решения системы. Круг представляет собой геометрическое место траектории, соответствующей выходному сигналу чистого синусоидального тона; то есть выходной сигнал системы приближается к чистому тону.
Обобщенные определения
Приведенные выше определения не подходят для многих технических приложений. Фактически, приведенные выше определения являются конкретизацией следующих определений.
Определение набора
Нижний предел множества X ⊆ Y - это нижняя грань всех предельных точек множества. Это,
Точно так же верхний предел множества X - это верхняя грань всех предельных точек набора. Это,
Обратите внимание, что множество X должно быть определено как подмножество частично упорядоченного множества Y , которое также является топологическим пространством, чтобы эти определения имели смысл. Более того, это должна быть полная решетка, чтобы верхняя и нижняя границы существовали всегда. В этом случае каждый набор имеет верхний предел и нижний предел. Также обратите внимание, что нижний предел и верхний предел набора не обязательно должны быть элементами набора.
Определение баз фильтров
Возьмем топологическое пространство X и базу фильтра B в этом пространстве. Набор всех кластерных точек для этой базы фильтра определяется выражением
где является закрытие из. Очевидно, что это замкнутое множество, подобное набору предельных точек множества. Предположим, что X также является частично упорядоченным множеством . Верхний предел базы фильтра B определяется как
когда этот супремум существует. Когда X имеет полный порядок , является полной решеткой и имеет топологию порядка ,
Точно так же нижний предел базы фильтра B определяется как
когда существует этот инфимум; если X тотально упорядочен, является полной решеткой и имеет порядковую топологию, то
Если нижний предел и верхний предел совпадают, тогда должна быть ровно одна точка кластера, и предел базы фильтра равен этой уникальной точке кластера.
Специализация на последовательностях и сетях
Обратите внимание, что базы фильтров - это обобщения сетей , которые являются обобщениями последовательностей . Следовательно, эти определения дают нижний предел и верхний предел любой сети (и, следовательно, любой последовательности). Например, возьмем топологическое пространство и сеть , где является направленным множеством и для всех . База фильтра ("хвостов"), генерируемая этой сетью, равна определяется
Следовательно, нижний предел и верхний предел сети равны верхнему пределу и нижнему пределу соответственно. Аналогично для топологического пространствавозьмем последовательность где для любой с участием набор натуральных чисел . База фильтра ("хвостов"), сгенерированная этой последовательностью, равна определяется
Следовательно, нижний предел и верхний предел последовательности равны верхнему пределу и нижнему пределу последовательности. соответственно.
Смотрите также
- Essential supremum и Essential infimum
- Конверт (волны)
- Односторонний предел
- Производные Дини
- Теоретико-множественный предел
Рекомендации
- Перейти ↑ Rudin, W. (1976). Принципы математического анализа . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 56. ISBN 007054235X.
- ^ «Ограниченные промежутки между простыми числами» . Polymath вики . Дата обращения 14 мая 2014 .
- ^ «Критерий Лебега интегрируемости Римана (MATH314 Lecture Notes)» (PDF) . Виндзорский университет . Архивировано из оригинального (PDF) 03 марта 2007 года . Проверено 24 февраля 2006 .
- ^ а б Гебель, Рафаль; Sanfelice, Ricardo G .; Тил, Эндрю Р. (2009). «Гибридные динамические системы». Журнал IEEE Control Systems . 29 (2): 28–93. DOI : 10,1109 / MCS.2008.931718 .
- ^ Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, Inc.
- Amann, H .; Эшер, Иоахим (2005). Анализ . Базель; Бостон: Биркхойзер. ISBN 0-8176-7153-6.
- Гонсалес, Марио О (1991). Классический комплексный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 0-8247-8415-4.
Внешние ссылки
- "Верхний и нижний пределы" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]