В математике , А множество B векторов в векторном пространстве V называется базисом , если каждый элемент из V может быть записан единственным образом в виде конечной линейной комбинации элементов B . Коэффициенты этой линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора по отношению к B . Элементы основы называютсябазисные векторы .
Эквивалентно, множество B является базисом , если ее элементы являются линейно независимыми , и каждый элемент из V является линейной комбинацией элементов B . [1] Другими словами, базис - это линейно независимое остовное множество .
Векторное пространство может иметь несколько оснований; однако все базы имеют одинаковое количество элементов, называемое размерностью векторного пространства.
Эта статья посвящена в основном конечномерным векторным пространствам. Однако многие принципы справедливы и для бесконечномерных векторных пространств.
Базис Б из векторного пространства V над полем F (например, действительных чисел R или комплексные числа C ) является линейно независимой подмножество из V , что пролеты V . Это означает, что подмножество B в V является базисом, если оно удовлетворяет двум следующим условиям:
В скалярах называются координатами вектора V относительно базиса B , а также по первому свойству они однозначно определяются.
Векторное пространство, имеющее конечный базис, называется конечномерным . В этом случае конечное подмножество может быть взято за само B для проверки линейной независимости в приведенном выше определении.
Часто бывает удобно или даже необходимо иметь упорядочение по базисным векторам, например, при обсуждении ориентации или когда кто-то рассматривает скалярные коэффициенты вектора по отношению к базису без явной ссылки на базисные элементы. В этом случае порядок необходим для привязки каждого коэффициента к соответствующему базисному элементу. Такое упорядочение может быть выполнено путем нумерации базовых элементов. Чтобы подчеркнуть, что порядок был выбран, говорят об упорядоченной основе , которая, следовательно, является не просто неструктурированным набором , а последовательностью , индексированным семейством или подобным; см. § Упорядоченные базы и координаты ниже.
Многие свойства конечных базисов являются результатом леммы об обмене Стейница , которая утверждает, что для любого векторного пространства V , учитывая конечное остовное множество S и линейно независимое множество L из n элементов V , можно заменить n правильно выбранных элементов S элементы L , чтобы получить охватывающее множество , содержащее L , имеющие других его элементы в S , и имеющий одинаковое число элементов , как S .
Большинство свойств, проистекающих из леммы об обмене Стейница, остаются верными, когда нет конечного остовного множества, но их доказательства в бесконечном случае обычно требуют аксиомы выбора или ее более слабой формы, такой как лемма об ультрафильтре .
Если V - векторное пространство над полем F , то:
Если V - векторное пространство размерности n , то:
Пусть V - векторное пространство конечной размерности n над полем F и
базис V . По определению базиса каждое v в V может быть записано уникальным образом как
где коэффициенты скаляры (то есть, элементы F ), которые называются координатами из V над B . Однако, если говорить о наборе коэффициентов, теряется соответствие между коэффициентами и базисными элементами, и несколько векторов могут иметь один и тот же набор коэффициентов. Например, и имеют одинаковый набор коэффициентов {2, 3} , и разные. Поэтому часто бывает удобно работать с упорядоченной базой ; обычно это делается путем индексации базовых элементов по первым натуральным числам. Тогда координаты вектора образуютпоследовательность индексируется аналогично, а вектор полностью характеризуется последовательностью координат. Упорядоченная основа также называется фреймом , это слово обычно используется в различных контекстах для обозначения последовательности данных, позволяющих определять координаты.
Пусть, как обычно, множество из п -кортежей элементов F . Этот набор представляет собой F- векторное пространство с покомпонентным определением сложения и скалярного умножения. Карта
это линейный изоморфизм из векторного пространства на V . Другими словами, это координатное пространство из V , а п -кратного является координатный вектор из V .
Прообраз путем из является п -кратного все компоненты которого равны 0, за исключением того , я е т 1. образуют упорядоченный базис , который называется его стандартным базисом или канонический базис . Упорядоченный базис B - это образ канонического базиса .
Это следует из того, что предшествует , что каждый упорядоченный базис является изображением линейного изоморфизмом канонической основы , и что каждый линейный изоморфизм на V может быть определен как изоморфизм , который отображает канонический базис на заданной упорядоченной основе V . Другими словами , это эквивалентно определить упорядоченный базис V , или линейный изоморфизм на V .
Пусть V векторное пространство размерности п над полем F . Принимая во внимание два (заказанные) основания и из V , часто бывает полезно , чтобы выразить координаты вектора х по отношению к в терминах координат относительно Это может быть сделано путем изменения-в-основе формулы , которая описана ниже , . Индексы «старый» и «новый» были выбраны потому, что принято называть и как старый базис и новый базис соответственно. Полезно описывать старые координаты в терминах новых, потому что, как правило, есть выражениявключая старые координаты, и если кто-то хочет получить эквивалентные выражения в терминах новых координат; это достигается заменой старых координат их выражениями в терминах новых координат.
Обычно новые базисные векторы задаются их координатами по старому базису, то есть
Если и - координаты вектора x по старому и новому базису соответственно, формула замены базиса имеет вид
для i = 1,…, n .
Эта формула может быть кратко записана в матричной записи. Пусть A - матрица , и
быть векторами-столбцами координат v в старом и новом базисе соответственно, тогда формула для изменения координат
Формулу можно доказать, рассматривая разложение вектора x на два базиса: один имеет
а также
Формула замены базиса является результатом единственности разложения вектора по базису, здесь ; то есть
для i = 1,…, n .
Если заменить поле, встречающееся в определении векторного пространства, кольцом , получится определение модуля . Для модулей линейная независимость и остовные множества определены точно так же, как для векторных пространств, хотя « порождающий набор » используется чаще, чем «остовный набор».
Как и для векторных пространств, базис модуля - это линейно независимое подмножество, которое также является порождающим множеством. Основное отличие теории векторных пространств состоит в том, что не каждый модуль имеет основу. Модуль, имеющий основу, называется свободным модулем . Свободные модули играют фундаментальную роль в теории модулей, поскольку они могут использоваться для описания структуры несвободных модулей с помощью свободных разрешений .
Модуль над целыми числами - это то же самое, что и абелева группа . Таким образом, свободный модуль над целыми числами также является свободной абелевой группой. Свободные абелевы группы обладают специфическими свойствами, которые не разделяются модулями над другими кольцами. В частности, каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой группой, и, если G является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы H (то есть абелевой группой с конечным базисом), существует базис группы H и целое число 0 ≤ k ≤ n такое, что является базисом G для некоторых ненулевых целых чисел . Подробнее см. Свободная абелева группа § Подгруппы.
В контексте бесконечномерных векторных пространств над действительными или комплексными числами терминБазис Гамеля (названный в честьГеорга Хамеля [2] ) илиалгебраический базисможет использоваться для обозначения базиса, как определено в этой статье. Это делается для того, чтобы отличать другие понятия «базис», которые существуют, когда бесконечномерные векторные пространства наделены дополнительной структурой. Наиболее важные альтернативыортогональные базисынагильбертовых пространствах,Шаудер базеиМаркушевич базахналинейных нормированных пространствах. В случае действительных чиселR,рассматриваемых как векторное пространство над полемрациональных чиселQ, базисы Гамеля неисчислимы и имеют, в частности,мощностьконтинуума, который является кардинальным числом , где - наименьший бесконечный кардинал, кардинал целых чисел.
Общей чертой других понятий является то, что они позволяют брать бесконечные линейные комбинации базисных векторов для генерации пространства. Это, конечно, требует, чтобы в этих пространствах содержательно определялись бесконечные суммы, как в случае топологических векторных пространств - большого класса векторных пространств, включая, например, гильбертовы пространства , банаховы пространства или пространства Фреше .
Предпочтение других типов базисов для бесконечномерных пространств оправдано тем фактом, что базис Гамеля становится «слишком большим» в банаховых пространствах: если X является бесконечномерным нормированным векторным пространством, которое является полным (т. Е. X является банаховым пространством ), то любой базис Гамеля в X обязательно несчетен . Это следствие теоремы Бэра о категории . Полнота, а также бесконечная размерность являются ключевыми предположениями в предыдущем утверждении. В самом деле, конечномерные пространства по определению имеют конечные базы, а существуют бесконечномерные ( неполные ) нормированные пространства, которые имеют счетные базисы Гамеля. Рассмотреть возможность, пространство последовательностей действительных чисел, которые имеют только конечное число ненулевых элементов, с нормой . Его стандартный базис , состоящий из последовательностей, имеющих только один ненулевой элемент, равный 1, является счетным базисом Гамеля.
В исследовании рядов Фурье , Узнает , что функции {1} ∪ {sin ( NX ), соз ( NX ): п = 1, 2, 3, ...} являются "ортогональным базисом" из (вещественных или комплексных) векторное пространство всех (действительных или комплексных) функций на интервале [0, 2π], которые интегрируются с квадратом на этом интервале, т. е. функций f, удовлетворяющих
Функции {1} ∪ {sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3,…} линейно независимы, и каждая функция f , интегрируемая с квадратом на [0, 2π], является «бесконечной линейная комбинация "из них, в том смысле, что
для подходящих (действительных или комплексных) коэффициентов a k , b k . Но многие [3] интегрируемые с квадратом функции не могут быть представлены как конечные линейные комбинации этих базисных функций, которые, следовательно , не составляют базиса Гамеля. Каждый базис Гамеля в этом пространстве намного больше, чем просто счетно бесконечный набор функций. Базисы Гамеля пространств такого типа обычно бесполезны, тогда как ортонормированные базисы этих пространств существенны в анализе Фурье .
Геометрические понятия аффинного пространства , проективного пространства , выпуклого множества и конуса связаны с понятиями основание . [4] аффинное базис для п - мерного аффинного пространства точек в общем линейном положении . Апроективный базис - этоточки общего положения в проективном пространстве размерностиn. Авыпуклая основа измногогранникаесть множество вершин еговыпуклой оболочки. Абазис конуса [5] состоит из одной точки по ребру многоугольного конуса. См. Такжебазис Гильберта (линейное программирование).
Для распределения вероятностей в R n с функцией плотности вероятности , такого как эквираспределение в n -мерном шаре относительно меры Лебега, можно показать, что n случайно и независимо выбранных векторов сформируют базис с вероятностью единица , которая равна в связи с тем, что n линейно зависимых векторов x 1 ,…, x n в R n должны удовлетворять уравнению det [ x 1 ⋯ x n ] = 0(нулевой определитель матрицы со столбцами x i ), а множество нулей нетривиального многочлена имеет нулевую меру. Это наблюдение привело к разработке методов аппроксимации случайных оснований. [6] [7]
Численно проверить линейную зависимость или точную ортогональность сложно. Поэтому используется понятие ε-ортогональности. Для пространств с внутренним произведением , х есть ε-ортогональна у , если (то есть, косинус угла между х и у меньше е ).
В больших размерностях два независимых случайных вектора с высокой вероятностью почти ортогональны, а количество независимых случайных векторов, которые все с заданной высокой вероятностью попарно почти ортогональны, растет экспоненциально с увеличением размерности. Точнее, рассмотрим равнораспределение в n- мерном шаре. Выберите N независимых случайных векторов из шара (они независимы и одинаково распределены ). Пусть θ - небольшое положительное число. Тогда для
| (Уравнение 1) |
Все N случайных векторов попарно ε-ортогональны с вероятностью 1 - θ . [7] Это N растет экспоненциально с размерностью n и для достаточно больших n . Это свойство случайных оснований является проявлением так называемого феномена концентрации меры . [8]
На рисунке (справа) показано распределение длин N попарно почти ортогональных цепочек векторов, которые независимо случайным образом выбираются из n- мерного куба [-1, 1] n как функция размерности n . Сначала в кубе случайным образом выбирается точка. Вторая точка выбирается случайным образом в том же кубе. Если угол между векторами находился в пределах π / 2 ± 0,037π / 2, то вектор сохранялся. На следующем этапе в том же гиперкубе генерируется новый вектор, и оцениваются его углы с ранее сгенерированными векторами. Если эти углы находятся в пределах π / 2 ± 0,037π / 2тогда вектор сохраняется. Процесс повторяется до тех пор, пока цепочка почти ортогональности не разорвется, и не будет зафиксировано количество таких попарно почти ортогональных векторов (длина цепочки). Для каждого n численно построено 20 попарно почти ортогональных цепочек для каждого измерения. Представлено распределение длин этих цепочек.
Пусть V любое векторное пространство над некоторым полем F . Пусть Х множество всех линейно независимых подмножеств V .
Множество X непусто, поскольку пустое множество является независимым подмножеством V и частично упорядочено включением, которое, как обычно, обозначается ⊆ .
Пусть Y - подмножество X , которое полностью упорядочено ⊆ , и пусть L Y - объединение всех элементов Y (которые сами являются некоторыми подмножествами V ).
Поскольку ( Y , ⊆) полностью упорядочено, каждое конечное подмножество L Y является подмножеством элемента Y , который является линейно независимым подмножеством V , и, следовательно, L Y линейно независим. Таким образом , L Y представляет собой элемент X . Поэтому L Y представляет собой верхнюю границу для Y в ( X , ⊆): это элемент X , который содержит каждый элемент Y .
Поскольку X непусто и каждое полностью упорядоченное подмножество ( X , ⊆) имеет верхнюю границу в X , лемма Цорна утверждает, что X имеет максимальный элемент. Другими словами, существует некоторый элемент L max из X, удовлетворяющий условию, что если L max ⊆ L для некоторого элемента L из X , то L = L max .
Осталось доказать , что L макс является основой V . Так как L макс принадлежит X , мы уже знаем , что L макс является линейно независимым подмножеством V .
Если бы был некоторый вектор w из V, который не находится в промежутке L max , то w также не был бы элементом L max . Пусть L w = L max ∪ { w }. Этот набор является элементом X , то есть это линейно независимое подмножество V (поскольку w не входит в диапазон L max , а L max не зависит). Поскольку L max ⊆ L w и L max ≠ L w (поскольку L w содержит вектор wкоторое не содержится в L max ), это противоречит максимальности L max . Таким образом , это показывает , что L MAX пролетов V .
Следовательно , L макс является линейно независимой и пролеты V . Таким образом, это базис V , и это доказывает, что у каждого векторного пространства есть базис.
Это доказательство опирается на лемму Цорна, которая эквивалентна выбранной аксиоме . Наоборот, было доказано, что если каждое векторное пространство имеет базис, то аксиома выбора верна. [9] Таким образом, два утверждения эквивалентны.