В топологии , Борель-Мура или гомология с закрытой поддержкой является теорией гомологии для локально компактных пространств , введенных ( 1960 ).
Для разумных компактных пространств гомологии Бореля – Мура совпадают с обычными сингулярными гомологиями . Для некомпактных пространств каждая теория имеет свои преимущества. В частности, замкнутое ориентированное подмногообразие определяет класс в гомологиях Бореля – Мура, но не в обычных гомологиях, если подмногообразие не компактно.
Примечание. Борелевские эквивариантные когомологии - это инвариант пространств с действием группы G ; это определяется как Это не имеет отношения к теме данной статьи.
Определение
Есть несколько способов определить гомологии Бореля-Мура. Все они совпадают для разумных пространств, таких как многообразия и локально конечные комплексы CW .
Определение через когомологии пучков
Для любого локально компактного пространства X гомологии Бореля – Мура с целыми коэффициентами определяются как когомологии двойственного цепного комплекса, вычисляющего когомологии пучков с компактным носителем. [1] В результате получается короткая точная последовательность, аналогичная теореме об универсальных коэффициентах :
В дальнейшем коэффициенты не написаны.
Определение через локально конечные цепочки
Сингулярные гомологии топологического пространства X определяются как гомологии цепного комплекса сингулярных цепей, то есть конечные линейные комбинации непрерывных отображений из простых к X . С другой стороны, гомологии Бореля – Мура разумного локально компактного пространства X изоморфны гомологиям цепного комплекса локально конечных особых цепей. Здесь «разумный» означает, что X локально стягиваемо, σ-компактно и имеет конечную размерность. [2]
Более подробно пусть абелева группа формальных (бесконечных) сумм
где σ пробегает множество всех непрерывных отображений из стандартного i -симплекса Δ i в X, и каждое a σ является целым числом, так что для каждого компактного подмножества S в X только конечное число отображений σ, образ которых пересекает S, имеют ненулевой коэффициент в ц . Тогда обычное определение границы ∂ особой цепи превращает эти абелевы группы в цепной комплекс:
Группы гомологий Бореля - Мура - группы гомологий этого цепного комплекса. Это,
Если X компактно, то каждая локально конечная цепь на самом деле конечна. Итак, учитывая, что X "разумно" в указанном выше смысле, гомологии Бореля-Мура совпадает с обычными сингулярными гомологиями для X compact.
Определение через компактификации
Предположим , что X гомеоморфно дополнению замкнутого подкомплекса S в конечное CW комплекса Y . Тогда гомологии Бореля – Мураизоморфна относительным гомологиям H i ( Y , S ). В рамках этого же предположения о X , то одна точка компактификацией из X гомеоморфно конечного CW комплекса. В результате гомологии Бореля – Мура можно рассматривать как относительные гомологии одноточечной компактификации относительно добавленной точки.
Определение через двойственность Пуанкаре
Пусть X - произвольное локально компактное пространство с замкнутым вложением в ориентированное многообразие M размерности m . потом
где в правой части подразумеваются относительные когомологии . [3]
Определение через дуализирующий комплекс
Для любых локально компактного пространства X конечной размерности, пусть D X будет дуализирующий комплексом из X . потом
где в правой части подразумеваются гиперкогомологии . [4]
Характеристики
- Гомологии Бореля – Мура - ковариантный функтор относительно собственных отображений . То есть собственное отображение f : X → Y индуцирует прямой гомоморфизмдля всех целых i . В отличие от обычных гомологий, на гомологии Бореля – Мура для произвольного непрерывного отображения f нет никаких доказательств . В качестве контрпримера можно рассмотреть несобственное включение
- Гомологии Бореля – Мура - контравариантный функтор относительно включений открытых подмножеств. То есть для U, открытого в X , существует естественный гомоморфизм поднятия или ограничения
- Для любого локально компактного пространства X и любого замкнутого подмножества F сдополнение, существует длинная точная последовательность локализации : [5]
- Гомологии Бореля - Мура гомотопически инвариантны в том смысле, что для любого пространства X существует изоморфизмСдвиг размерности означает, что гомологии Бореля – Мура не гомотопически инвариантны в наивном смысле. Например, гомологии Бореля - Мура евклидова пространства изоморфен в степени n и в противном случае равен нулю.
- Двойственность Пуанкаре распространяется на некомпактные многообразия с помощью гомологий Бореля – Мура. А именно, для ориентированного n -многообразия X двойственность Пуанкаре является изоморфизмом сингулярных когомологий в гомологии Бореля - Мура,
- для всех целых i . Другой вариант двойственности Пуанкаре для некомпактных многообразий - это изоморфизм когомологий с компактным носителем в обычные гомологии:
- Ключевым преимуществом гомологий Бореля - Мура является то, что каждое ориентированное многообразие M размерности n (в частности, каждое гладкое комплексное алгебраическое многообразие ), не обязательно компактное, имеет фундаментальный класс Если многообразие M имеет триангуляцию , то его фундаментальный класс представлен суммой всех симплексов высшей размерности. Фактически, в гомологиях Бореля – Мура можно определить фундаментальный класс для произвольных (возможно, особых) комплексных многообразий. В этом случае множество гладких точекимеет дополнение (действительной) коразмерности не менее 2 и длинной точной последовательностью над гомологиями высшей размерности M иканонически изоморфны. Тогда фундаментальный класс M определяется как фундаментальный класс. [6]
Примеры
Компактные пространства
Для компактного топологического пространства его гомология Бореля-Мура согласуется с его стандартной гомологией; это,
Реальная линия
Первым нетривиальным вычислением гомологий Бореля-Мура является вещественная прямая. Сначала заметьте, что любой-цепь когомологична . Поскольку это сводится к случаю точки, обратите внимание, что мы можем взять цепочку Бореля-Мура
так как граница этой цепочки и несуществующая точка на бесконечности, точка когомологична нулю. Теперь мы можем взять цепочку Бореля-Мура
который не имеет границы, следовательно, является классом гомологий. Это показывает, что
Реальное n-пространство
Предыдущее вычисление можно обобщить на случай Мы получили
Бесконечный цилиндр
Используя разложение Куннета, мы видим, что бесконечный цилиндр имеет гомологию
Реальное n-пространство минус точка
Используя длинную точную последовательность в гомологиях Бореля-Мура, мы получаем ненулевые точные последовательности
а также
Из первой последовательности получаем, что
и со второго мы получаем, что
а также
Мы можем интерпретировать эти ненулевые классы гомологии, используя следующие наблюдения:
- Имеется гомотопическая эквивалентность
- Топологический изоморфизм
следовательно, мы можем использовать вычисление для бесконечного цилиндра, чтобы интерпретировать как класс гомологии, представленный а также в виде
Самолет с удаленными точками
Позволять имеют -удалены отчетливые точки. Обратите внимание, что предыдущее вычисление с тем фактом, что гомологии Бореля-Мура является инвариантом изоморфизма, дает это вычисление для случая. В общем, найдем-класс, соответствующий петле вокруг точки, и основной класс в .
Двойной конус
Рассмотрим двойной конус . Если мы возьмем тогда длинная точная последовательность показывает
Кривая рода два с удаленными тремя точками
Для кривой второго рода (риманова поверхность) и три очка , мы можем использовать длинную точную последовательность для вычисления гомологии Бореля-Мура Это дает
С только три очка у нас есть
Это дает нам Используя двойственность Пуанкаре, мы можем вычислить
поскольку деформация сворачивается в одномерный CW-комплекс. Наконец, используя вычисление для гомологий компактной кривой рода 2, мы остаемся с точной последовательностью
показывая
поскольку у нас есть короткая точная последовательность свободных абелевых групп
из предыдущей последовательности.
Заметки
- ^ Биргер Иверсен. Когомологии пучков. Раздел IX.1.
- ^ Глен Бредон. Теория связок. Следствие V.12.21.
- ^ Биргер Иверсен. Когомологии пучков. Теорема IX.4.7.
- ^ Биргер Иверсен. Когомологии пучков. Уравнение IX.4.1.
- ^ Биргер Иверсен. Когомологии пучков. Уравнение IX.2.1.
- ^ Уильям Фултон. Теория пересечения. Лемма 19.1.1.
Рекомендации
Обзорные статьи
- Гореский, Марк , Букварь по связкам (PDF) , архивировано из оригинала (PDF) 27 сентября 2017 г.
Книги
- Борель, Арман ; Мур, Джон К. (1960). «Теория гомологий для локально компактных пространств» . Мичиганский математический журнал . 7 : 137–159. DOI : 10.1307 / MMJ / 1028998385 . ISSN 0026-2285 . Руководство по ремонту 0131271 .
- Бредон, Глен Э. (1997). Теория снопов (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94905-5. Руководство по ремонту 1481706 .
- Фултон, Уильям (1998). Теория пересечения (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-62046-4. Руководство по ремонту 1644323 .
- Иверсен, Биргер (1986). Когомологии пучков . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-16389-1. Руководство по ремонту 0842190 .