Серии Born [1] является расширением различных величин рассеяния в квантовой теории рассеяния по степеням потенциала взаимодействия (точнее в степенях где - оператор Грина свободной частицы ). Он тесно связан с борновским приближением , которое является членом первого порядка борновского ряда. Формально ряд можно понимать как степенной ряд, вводящий константу связи путем подстановки. Скорость сходимости и радиус сходимости ряда Борна связаны с собственными значениями оператора. В общем, первые несколько членов ряда Борна являются хорошим приближением к расширенной величине для "слабого" взаимодействия. и большая энергия столкновения.
Ряд Борна для состояний рассеяния
Ряд Борна для состояний рассеяния имеет вид
Его можно получить, повторяя уравнение Липпмана – Швингера
Отметим, что оператор Грина для свободной частицы может быть запаздывающим / опережающим или оператором стоячей волны для запаздывающей передовой или состояния рассеяния стоячей волны . Первая итерация получается заменой полного решения рассеяния с волновой функцией свободной частицы в правой части уравнения Липпмана-Швингера и дает первое борновское приближение . Вторая итерация заменяет первое борновское приближение в правой части, и результат называется вторым борновским приближением. Как правило, n-е борновское приближение учитывает n членов ряда. Иногда используется второе борновское приближение, когда первое борновское приближение обращается в нуль, но более высокие члены используются редко. Формально ряд Борна можно суммировать как геометрический ряд со знаменателем, равным оператору, дающее формальное решение уравнения Липпмана-Швингера в виде
Серия Борна для Т-матрицы
Ряд Борна также может быть записан для других величин рассеяния, таких как T-матрица, которая тесно связана с амплитудой рассеяния . Итерируя уравнение Липпмана-Швингера для T-матрицы, получаем
Для T-матрицы обозначает только отсталого оператора Грина . Вместо этого оператор Грина стоячей волны даст K-матрицу .
Родилась серия для полного оператора Грина
Уравнение Липпмана-Швингера для оператора Грина называется резольвентным тождеством ,
Его итерационное решение приводит к ряду Борна для полного оператора Грина
Смотрите также
- Уравнение Липпмана-Швингера
- Квантовая теория рассеяния
- Т-матрица
- Оператор Грина
Библиография
- Иоахайн, Чарльз Дж. (1983). Квантовая теория столкновений . Северная Голландия. ISBN 978-0-7204-0294-0.
- Тейлор, Джон Р. (1972). Теория рассеяния: квантовая теория нерелятивистских столкновений . Джон Вили. ISBN 978-0-471-84900-1.
- Ньютон, Роджер Г. (2002). Теория рассеяния волн и частиц . Dover Publications, inc. ISBN 978-0-486-42535-1. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
Рекомендации
- ^ Родился Макс (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgänge". Zeitschrift für Physik . 38 (11–12): 803–827. Bibcode : 1926ZPhy ... 38..803B . DOI : 10.1007 / bf01397184 . S2CID 126244962 .