Распределение заусенцев

Тип заусенца XII

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${\ displaystyle c> 0 \!}$ ${\ displaystyle k> 0 \!}$
Поддерживать	${\ displaystyle x> 0 \!}$
PDF	${\ displaystyle ck {\ frac {x ^ {c-1}} {(1 + x ^ {c}) ^ {k + 1}}} \!}$
CDF	${\ displaystyle 1- \ left (1 + x ^ {c} \ right) ^ {- k}}$
Иметь в виду	${\ Displaystyle \ му _ {1} = к \ OperatorName {\ mathrm {B}} (k-1 / c, \, 1 + 1 / c)}$где Β () - бета-функция
Медиана	${\ displaystyle \ left (2 ^ {\ frac {1} {k}} - 1 \ right) ^ {\ frac {1} {c}}}$
Режим	${\ displaystyle \ left ({\ frac {c-1} {kc + 1}} \ right) ^ {\ frac {1} {c}}}$
Дисперсия	${\ displaystyle - \ mu _ {1} ^ {2} + \ mu _ {2}}$
Асимметрия	${\ displaystyle {\ frac {2 \ mu _ {1} ^ {3} -3 \ mu _ {1} \ mu _ {2} + \ mu _ {3}} {\ left (- \ mu _ {1 } ^ {2} + \ mu _ {2} \ right) ^ {3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${\ displaystyle {\ frac {-3 \ mu _ {1} ^ {4} +6 \ mu _ {1} ^ {2} \ mu _ {2} -4 \ mu _ {1} \ mu _ {3 } + \ mu _ {4}} {\ left (- \ mu _ {1} ^ {2} + \ mu _ {2} \ right) ^ {2}}} - 3}$где моменты ( см. )${\displaystyle \mu _{r}=k\operatorname {\mathrm {B} } \left({\frac {ck-r}{c}},\,{\frac {c+r}{c}}\right)}$
CF	${\displaystyle ={\frac {c(-it)^{kc}}{\Gamma (k)}}H_{1,2}^{2,1}\!\left[(-it)^{c}\left|{\begin{matrix}(-k,1)\\(0,1),(-kc,c)\end{matrix}}\right.\right],t\neq 0}$ ${\displaystyle =1,t=0}$ где - гамма-функция, а - H-функция Фокса . [1]${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle H}$

В теории вероятностей , статистике и эконометрике , то заусенца Тип распространение XII или просто распределение Барра ^[2] является непрерывным распределением вероятности для неотрицательной случайной величины . Это также известно как распределение Сингха – Маддала ^[3] и является одним из множества различных распределений, иногда называемых «обобщенным лог-логистическим распределением ». Чаще всего он используется для моделирования семейного дохода , см. Например: Семейный доход в США и сравните с пурпурным графиком справа.

Распределение Burr (Тип XII) имеет функцию плотности вероятности : ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;c,k)&=ck{\frac {x^{c-1}}{(1+x^{c})^{k+1}}}\\[6pt]f(x;c,k,\lambda )&={\frac {ck}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c-1}\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k-1}\end{aligned}}}$

и кумулятивная функция распределения :

${\displaystyle F(x;c,k)=1-\left(1+x^{c}\right)^{-k}}$

${\displaystyle F(x;c,k,\lambda )=1-\left[1+\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{c}\right]^{-k}}$

Когда c  = 1, распределение заусенцев становится распределением Парето типа II (Lomax) . Когда k  = 1, распределение Берра является частным случаем распределения Чамперноуна , часто называемого распределением Фиска . ^{[6] [7]}

Распределение Burr типа XII является членом системы непрерывных распределений, введенной Ирвингом У. Берром (1942), которая включает 12 распределений. ^[8]

См. Также [ править ]

• Распределение Дагума , также известное как обратное распределение Берра.

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Родригес, Р. Н. (1977). «Руководство по распределению Burr Type XII» . Биометрика . 64 (1): 129–134. DOI : 10.1093 / Biomet / 64.1.129 .