Логистическая дистрибуция

Логистика

Функция плотности вероятности ${\ Displaystyle \ альфа = 1,}$значения, как показано в легенде${\ displaystyle \ beta}$
Кумулятивная функция распределения ${\ Displaystyle \ альфа = 1,}$значения, как показано в легенде${\ displaystyle \ beta}$
Параметры	${\ displaystyle \ alpha> 0}$ масштабная форма ${\ displaystyle \ beta> 0}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в [0, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {(\ beta / \ alpha) (x / \ alpha) ^ {\ beta -1}} {\ left (1+ (x / \ alpha) ^ {\ beta} \ right) ^ { 2}}}}$
CDF	${\ Displaystyle {1 \ более 1+ (х / \ альфа) ^ {- \ бета}}}$
Иметь в виду	${\ Displaystyle {\ альфа \, \ пи / \ бета \ над \ грех (\ пи / \ бета)}}$ если , еще не определено${\ displaystyle \ beta> 1}$
Медиана	${\displaystyle \alpha \,}$
Режим	${\displaystyle \alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }}$ если , 0 иначе${\displaystyle \beta >1}$
Дисперсия	См. Основной текст
MGF	${\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}$[1] где- бета-функция . [2]${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}$${\displaystyle \mathrm {B} }$
CF	${\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{itx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}$[1] где- бета-функция . [2]${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}$${\displaystyle \mathrm {B} }$

В вероятности и статистике , то лог-логистическое распределение (известное как распределение Фиска в экономике ) является непрерывным распределением вероятностей для неотрицательной случайной величины . Он используется в анализе выживаемости в качестве параметрической модели для событий, частота которых сначала увеличивается, а затем снижается, например, смертность от рака после диагностики или лечения. Он также использовался в гидрологии для моделирования речного стока и осадков , в экономике как простая модельраспределение богатства или дохода , а также в сети для моделирования времени передачи данных с учетом как сети, так и программного обеспечения.

Логарифмическое распределение - это распределение вероятностей случайной величины , логарифм которой имеет логистическое распределение . По форме оно похоже на логнормальное распределение, но имеет более тяжелые хвосты . В отличие от логнормального, его кумулятивная функция распределения может быть записана в замкнутой форме .

Характеристика [ править ]

Существует несколько различных параметризаций используемого распределения. Показанный здесь дает разумно интерпретируемые параметры и простую форму кумулятивной функции распределения . ^{[3] [4]} Параметр является масштабным параметром, а также медианной величиной распределения. Параметр - это параметр формы . Распределение является унимодальным, когда его дисперсия уменьшается с увеличением.${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \beta >1}$${\displaystyle \beta }$

Кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}$

где , ,${\displaystyle x>0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0.}$

Функция плотности вероятности :

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}$

Альтернативная параметризация [ править ]

Альтернативная параметризация задается парой по аналогии с логистическим распределением:${\displaystyle \mu ,s}$

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}$

${\displaystyle s=1/\beta }$

Свойства [ править ]

Моменты [ править ]

Го сырья момент существует только тогда , когда , когда оно дается ^{[5] [6]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k<\beta ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

где B - бета-функция . Отсюда можно получить выражения для среднего , дисперсии , асимметрии и эксцесса . Пишу для удобства, среднее значение${\displaystyle b=\pi /\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}$

и дисперсия

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}$

Явные выражения для асимметрии и эксцесса длинны. ^[7] Поскольку среднее значение стремится к бесконечности , дисперсия и асимметрия стремятся к нулю, а избыточный эксцесс стремится к 6/5 (см. Также соответствующие распределения ниже).${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

Квантили [ править ]

Функция квантиля (обратная кумулятивная функция распределения):

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}$

Отсюда следует , что средний показатель является , нижняя квартиль находится и верхняя квартиль находится .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }$${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$

Приложения [ править ]

Функция опасности . значения, как показано в легенде${\displaystyle \alpha =1,}$${\displaystyle \beta }$

Анализ выживаемости [ править ]

Логико-логистическое распределение обеспечивает одну параметрическую модель для анализа выживаемости . В отличие от более часто используемого распределения Вейбулла , оно может иметь немонотонную функцию риска : когда функция риска является одномодальной (когда  ≤ 1, опасность монотонно уменьшается). Тот факт, что кумулятивная функция распределения может быть записана в замкнутой форме, особенно полезен для анализа данных о выживаемости с цензурой . ^[8] Логико-логистическое распределение можно использовать в качестве основы модели ускоренного времени отказа , разрешив${\displaystyle \beta >1,}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$различать между группами или, в более общем смысле, вводить коварианты, которые влияют, но не моделировать как линейную функцию ковариат. ^[9]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \log(\alpha )}$

Функция выживания является

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}$

и поэтому функция риска является

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}$

Логико-логистическое распределение с параметром формы - это предельное распределение промежутков времени в геометрическом распределенном процессе подсчета . ^[10]${\displaystyle \beta =1}$

Гидрология [ править ]

Логико-логистическое распределение использовалось в гидрологии для моделирования расходов воды и осадков. ^{[3] [4]}

Экстремальные значения, такие как максимальное количество осадков за один день и расход реки в месяц или год, часто имеют логнормальное распределение . ^[11] Логнормальное распределение, однако, требует численного приближения. Поскольку логарифмическое распределение, которое может быть решено аналитически, похоже на логнормальное распределение, его можно использовать вместо него.

На синем рисунке показан пример подгонки лог-логистического распределения к ранжированным максимальным однодневным осадкам в октябре и показан пояс уверенности 90% на основе биномиального распределения . Данные об осадках представлены положением графика r / ( n +1) как часть совокупного частотного анализа .

Экономика [ править ]

Лог-логистика использовалась как простая модель распределения богатства или дохода в экономике , где она известна как распределение Фиска. ^[12] Его коэффициент Джини находится . ^[13]${\displaystyle 1/\beta }$

Сеть [ править ]

Лог-логистика использовалась в качестве модели для периода времени, начинающегося, когда некоторые данные покидают приложение пользователя программного обеспечения на компьютере, и ответ принимается тем же приложением после прохождения и обработки другими компьютерами, приложениями и сетью. сегменты, большинство или все из них без жестких гарантий реального времени (например, когда приложение отображает данные, поступающие с удаленного датчика, подключенного к Интернету). Было показано, что это более точная вероятностная модель для этого, чем логнормальное распределение или другие, при условии, что резкие изменения режима в последовательностях тех времен правильно обнаруживаются. ^[14]

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Если тогда${\displaystyle X\sim LL(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle kX\sim LL(k\alpha ,\beta ).}$
• ${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )}$( Распределение Dagum ).
• ${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}$( Распределение Сингха – Маддалы ).
• ${\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}$( Бета-простое распределение ).
• Если X имеет логистическое распределение с параметром масштаба и параметром формы, тогда Y  = log ( X ) имеет логистическое распределение с параметром местоположения и параметром масштаба.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \log(\alpha )}$${\displaystyle 1/\beta .}$
• По мере того, как параметр формы логистического распределения увеличивается, его форма все больше напоминает форму (очень узкого) логистического распределения . Неформально:${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .}$

• Лог-логистическое распределение с параметром формы и параметром масштаба такое же, как обобщенное распределение Парето с параметром местоположения, параметром формы и параметром масштаба.${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \xi =1}$${\displaystyle \alpha :}$

${\displaystyle LL(\alpha ,1)=GPD(1,\alpha ,1).}$

• Добавление еще одного параметра (параметра сдвига) формально приводит к смещению лог-логистического распределения , но обычно это рассматривается в другой параметризации, так что распределение может быть ограничено сверху или снизу.

Обобщения [ править ]

Несколько различных распределений иногда называют обобщенным логистическим распределением , поскольку они содержат лог-логистику как частный случай. ^[13] К ним относятся распределение заусенцев XII типа (также известное как распределение Сингха-Маддала ) и распределение Дагума , оба из которых включают второй параметр формы. Оба, в свою очередь, являются частными случаями еще более общего обобщенного бета-распределения второго рода . Еще одно более простое обобщение лог-логистики - это смещенное лог-логистическое распределение .

Другим обобщенным лог-логистическим распределением является логарифмическое преобразование распределения металиг , в котором разложения степенного ряда в терминах заменяются параметрами логистического распределения и . Результирующее логарифмическое распределение имеет высокую гибкость формы, имеет простую замкнутую форму PDF и функцию квантилей , может соответствовать данным с помощью линейных наименьших квадратов и предполагает, что логарифмическое распределение является частным случаем.${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

См. Также [ править ]

• Распределения вероятностей: список важных распределений, поддерживаемых на полубесконечных интервалах.

Ссылки [ править ]