Логистическая дистрибуция

Логистика

Функция плотности вероятности ${\ Displaystyle \ альфа = 1,}$значения, как показано в легенде${\ displaystyle \ beta}$
Кумулятивная функция распределения ${\ Displaystyle \ альфа = 1,}$значения, как показано в легенде${\ displaystyle \ beta}$
Параметры	${\ displaystyle \ alpha> 0}$ масштабная форма ${\ displaystyle \ beta> 0}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в [0, \ infty)}$
PDF	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {(\ бета / \ альфа) (х / \ альфа) ^ {\ бета -1}} {\ влево (1+ (х / \ альфа) ^ {\ бета} \ вправо) ^ { 2}}}}$
CDF	${\ Displaystyle {1 \ более 1+ (х / \ альфа) ^ {- \ бета}}}$
Иметь в виду	${\ Displaystyle {\ альфа \, \ пи / \ бета \ над \ грех (\ пи / \ бета)}}$ если , еще не определено${\ displaystyle \ beta> 1}$
Медиана	${\displaystyle \alpha \,}$
Режим	${\displaystyle \alpha \left({\frac {\beta -1}{\beta +1}}\right)^{1/\beta }}$ если , 0 иначе${\displaystyle \beta >1}$
Дисперсия	См. Основной текст
MGF	${\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{tx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}$[1] где- бета-функция . [2]${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}$${\displaystyle \mathrm {B} }$
CF	${\displaystyle \beta \alpha ^{-\beta }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{itx}x^{\beta -1}}{(1+(x/\alpha )^{\beta })^{2}}}dx}$[1] где- бета-функция . [2]${\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(i\alpha t)^{n}}{n!}}\mathrm {B} (1+{\frac {n}{\beta }},1-{\frac {n}{\beta }})}$${\displaystyle \mathrm {B} }$

В вероятности и статистике , то лог-логистическое распределение (известное как распределение Фиска в экономике ) является непрерывным распределением вероятностей для неотрицательной случайной величины . Он используется в анализе выживаемости в качестве параметрической модели для событий, частота которых сначала увеличивается, а затем снижается, например, смертность от рака после диагностики или лечения. Он также использовался в гидрологии для моделирования речного стока и осадков , в экономике как простая модельраспределение богатства или дохода , а также в сети для моделирования времени передачи данных с учетом как сети, так и программного обеспечения.

Логарифмическое распределение - это распределение вероятностей случайной величины , логарифм которой имеет логистическое распределение . По форме оно похоже на логнормальное распределение, но имеет более тяжелые хвосты . В отличие от логнормального, его кумулятивная функция распределения может быть записана в замкнутой форме .

Характеристика [ править ]

Существует несколько различных параметризаций используемого распределения. Показанный здесь дает разумно интерпретируемые параметры и простую форму кумулятивной функции распределения . ^{[3] [4]} Параметр является масштабным параметром, а также медианной величиной распределения. Параметр - это параметр формы . Распределение является одномодальным, когда его дисперсия уменьшается с увеличением.${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \beta >1}$${\displaystyle \beta }$

Кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x;\alpha ,\beta )&={1 \over 1+(x/\alpha )^{-\beta }}\\[5pt]&={(x/\alpha )^{\beta } \over 1+(x/\alpha )^{\beta }}\\[5pt]&={x^{\beta } \over \alpha ^{\beta }+x^{\beta }}\end{aligned}}}$

где , ,${\displaystyle x>0}$${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle \beta >0.}$

Функция плотности вероятности :

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {(\beta /\alpha )(x/\alpha )^{\beta -1}}{\left(1+(x/\alpha )^{\beta }\right)^{2}}}}$

Альтернативная параметризация [ править ]

Альтернативная параметризация задается парой по аналогии с логистическим распределением:${\displaystyle \mu ,s}$

${\displaystyle \mu =\ln(\alpha )}$

${\displaystyle s=1/\beta }$

Свойства [ править ]

Моменты [ править ]

Го сырья момент существует только тогда , когда , когда оно дается ^{[5] [6]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k<\beta ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{k})&=\alpha ^{k}\operatorname {B} (1-k/\beta ,1+k/\beta )\\[5pt]&=\alpha ^{k}\,{k\pi /\beta \over \sin(k\pi /\beta )}\end{aligned}}}$

где B - бета-функция . Отсюда можно получить выражения для среднего , дисперсии , асимметрии и эксцесса . Пишу для удобства, среднее значение${\displaystyle b=\pi /\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha b/\sin b,\quad \beta >1,}$

и дисперсия

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\alpha ^{2}\left(2b/\sin 2b-b^{2}/\sin ^{2}b\right),\quad \beta >2.}$

Явные выражения асимметрии и эксцесса длинны. ^[7] Поскольку среднее значение стремится к бесконечности , дисперсия и асимметрия стремятся к нулю, а избыточный эксцесс стремится к 6/5 (см. Также соответствующие распределения ниже).${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$

Квантили [ править ]

Функция квантиля (обратная кумулятивная функция распределения):

${\displaystyle F^{-1}(p;\alpha ,\beta )=\alpha \left({\frac {p}{1-p}}\right)^{1/\beta }.}$

Отсюда следует , что средний показатель является , нижняя квартиль находится и верхняя квартиль находится .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 3^{-1/\beta }\alpha }$${\displaystyle 3^{1/\beta }\alpha }$

Приложения [ править ]

Функция опасности . значения, как показано в легенде${\displaystyle \alpha =1,}$${\displaystyle \beta }$

Анализ выживаемости [ править ]

Логико-логистическое распределение предоставляет одну параметрическую модель для анализа выживаемости . В отличие от более часто используемого распределения Вейбулла , оно может иметь немонотонную функцию риска : когда функция риска является одномодальной (когда  ≤ 1, опасность монотонно уменьшается). Тот факт, что кумулятивная функция распределения может быть записана в замкнутой форме, особенно полезен для анализа данных о выживаемости с цензурой . ^[8] Логико-логистическое распределение может использоваться в качестве основы модели ускоренного времени отказа , позволяя${\displaystyle \beta >1,}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$различать между группами или, в более общем смысле, вводить коварианты, которые влияют, но не моделировать как линейную функцию ковариат. ^[9]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \log(\alpha )}$

Функция выживания является

${\displaystyle S(t)=1-F(t)=[1+(t/\alpha )^{\beta }]^{-1},\,}$

и поэтому функция риска является

${\displaystyle h(t)={\frac {f(t)}{S(t)}}={\frac {(\beta /\alpha )(t/\alpha )^{\beta -1}}{1+(t/\alpha )^{\beta }}}.}$

Логико-логистическое распределение с параметром формы - это предельное распределение промежутков времени в геометрическом распределенном процессе подсчета . ^[10]${\displaystyle \beta =1}$

Гидрология [ править ]

Логико-логистическое распределение использовалось в гидрологии для моделирования расходов воды и осадков. ^{[3] [4]}

Экстремальные значения, такие как максимальное количество осадков за один день и расход реки в месяц или год, часто имеют логнормальное распределение . ^[11] Логнормальное распределение, однако, требует числового приближения. Поскольку логарифмическое распределение, которое может быть решено аналитически, похоже на логнормальное распределение, его можно использовать вместо него.

На синем рисунке показан пример подгонки логарифмического распределения к ранжированным максимальным однодневным осадкам в октябре и показан пояс уверенности 90%, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены положением графика r / ( n +1) как часть кумулятивного частотного анализа .

Экономика [ править ]

Лог-логистика использовалась как простая модель распределения богатства или дохода в экономике , известная как распределение Фиска. ^[12] Его коэффициент Джини находится . ^[13]${\displaystyle 1/\beta }$

Сеть [ править ]

Лог-логистика использовалась в качестве модели для периода времени, начинающегося, когда некоторые данные покидают приложение пользователя программного обеспечения на компьютере, и ответ принимается тем же приложением после прохождения и обработки другими компьютерами, приложениями и сетью. сегменты, большинство или все из них без жестких гарантий в реальном времени (например, когда приложение отображает данные, поступающие с удаленного датчика, подключенного к Интернету). Было показано, что это более точная вероятностная модель для этого, чем логнормальное распределение или другие, при условии, что резкие изменения режима в последовательностях тех времен правильно обнаруживаются. ^[14]

Связанные дистрибутивы [ править ]

• Если тогда${\displaystyle X\sim LL(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle kX\sim LL(k\alpha ,\beta ).}$
• ${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\sim {\textrm {Dagum}}(1,\alpha ,\beta )}$( Распределение Dagum ).
• ${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\sim {\textrm {SinghMaddala}}(1,\alpha ,\beta )}$( Распределение Сингха – Маддалы ).
• ${\displaystyle {\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )\sim \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )}$( Бета-простое распределение ).
• Если X имеет логистическое распределение с параметром масштаба и параметром формы, тогда Y  = log ( X ) имеет логистическое распределение с параметром местоположения и параметром масштаба.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \log(\alpha )}$${\displaystyle 1/\beta .}$
• По мере того как параметр формы логистического распределения увеличивается, его форма все больше напоминает форму (очень узкого) логистического распределения . Неформально:${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle LL(\alpha ,\beta )\to L(\alpha ,\alpha /\beta )\quad {\text{as}}\quad \beta \to \infty .}$

• Логико-логистическое распределение с параметром формы и параметром масштаба такое же, как обобщенное распределение Парето с параметром местоположения, параметром формы и параметром масштаба.${\displaystyle \beta =1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \xi =1}$${\displaystyle \alpha :}$

${\displaystyle LL(\alpha ,1)=GPD(1,\alpha ,1).}$

• Добавление другого параметра (параметра сдвига) формально приводит к смещенному лог-логистическому распределению , но это обычно рассматривается в другой параметризации, так что распределение может быть ограничено сверху или снизу.

Обобщения [ править ]

Несколько различных распределений иногда называют обобщенным лог-логистическим распределением , поскольку они содержат лог-логистику как частный случай. ^[13] К ним относятся распределение заусенцев XII типа (также известное как распределение Сингха-Маддала ) и распределение Дагума , оба из которых включают второй параметр формы. Оба, в свою очередь, являются частными случаями еще более общего обобщенного бета-распределения второго рода . Еще одно более прямое обобщение лог-логистики - это смещенное лог-логистическое распределение .

Другим обобщенным лог-логистическим распределением является логарифмическое преобразование распределения металиг , в котором разложения степенного ряда в терминах заменяются параметрами логистического распределения и . Результирующее логарифмическое распределение имеет высокую гибкость формы, имеет простую замкнутую форму PDF и функцию квантилей , может быть подогнано к данным с линейным методом наименьших квадратов и предполагает, что лог-логистическое распределение является частным случаем.${\displaystyle p}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$

См. Также [ править ]

• Распределения вероятностей: список важных распределений, поддерживаемых на полубесконечных интервалах.

Ссылки [ править ]