Проекция (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Проекционная» математика  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В математике , А проекция является отображение множества (или другой математической структуры ) в подмножество (или суб-структуры), которая равна его площади для композиции отображения (или, другими словами, что является идемпотентная ). Ограничение на подпространство проекции также называется проекцией, даже если свойство идемпотентности потеряно. Обычный пример проекции - отбрасывание тени на плоскость (лист бумаги). Проекция точки - это ее тень на листе бумаги. Тень точки на листе бумаги и есть сама эта точка (идемпотентность). Тень трехмерной сферы - это замкнутый диск. Первоначально понятие проекции было введено в евклидовой геометрии для обозначения проекции трехмерного евклидова пространства на плоскость в нем, как в примере с тенью. Двумя основными прогнозами такого рода являются:

• Проекция из точки на плоскость или центральной проекции : Если С является точкой, которая называется центром проекции , то проекция точки P отличается от C на плоскость , которая не содержит C представляет собой пересечение линии CP с самолет. Точки P, такие, что прямая CP параллельна плоскости, не имеют никакого изображения проекцией, но часто говорят, что они проецируются в бесконечно удаленную точку плоскости (см. Проективную геометрию для формализации этой терминологии). Проекция точки C сам не определяется.
• Проекция параллельно направлению D, на плоскость или параллельной проекции : изображение точки Р есть пересечение с плоскостью линии , параллельной D , проходящей через P . См. Аффинное пространство § Проекция для получения точного определения, обобщенного для любого измерения. ^{[ необходима цитата ]}

Концепция проекции в математике очень старая, скорее всего, уходит своими корнями в феномен теней, отбрасываемых реальными объектами на земле. Эта элементарная идея была уточнена и абстрагирована сначала в геометрическом контексте, а затем в других разделах математики. Со временем развивались разные версии концепции, но сегодня, в достаточно абстрактной обстановке, мы можем объединить эти варианты. ^{[ необходима цитата ]}

В картографии , А проекция является картой части поверхности Земли на плоскость, которая, в некоторых случаях, но не всегда, является ограничением проекции в указанном выше смысле. В 3D - проекции также на основе теории перспективы . ^{[ необходима цитата ]}

Необходимость объединения двух видов проекций и определения изображения центральной проекцией любой точки, отличной от центра проекции, лежит в основе проективной геометрии . Однако проективное преобразование - это биекция проективного пространства, свойство, не разделяемое с проекциями в этой статье. ^{[ необходима цитата ]}

Определение

Коммутативность этой диаграммы - это универсальность проекции π для любого отображения f и множества X.

В абстрактном контексте мы обычно можем сказать, что проекция - это отображение множества (или математической структуры ), которое является идемпотентным , что означает, что проекция равна своей композиции с самим собой. Проекция может также относиться к отображению , которое имеет правый обратный. Оба понятия тесно связаны между собой следующим образом. Пусть p - идемпотентное отображение множества A в себя (таким образом, p  ∘ p  = p ) и B  = p ( A ) - образ p. Если мы обозначим через П отображение р рассматривается как отображение из A на B и I в инъекции из B в A (так , что р  = я  ∘ л ), то мы имеем П  ∘ я  = Id _Б (так что л имеет правая обратная). Наоборот, если π имеет правый обратный, то π  ∘  i = Id _B влечет, что i  ∘ π идемпотентно. ^{[цитата необходима ]}

Приложения

Первоначальное понятие проекции было расширено или обобщено на различные математические ситуации, часто, но не всегда, связанные с геометрией, например:

• В теории множеств :
  • Операция символизировано J -  ^й проекции карты , написанная Рго _J  , который принимает элемент х = ( х ₁ , ..., х _J , ..., х _к ) в декартово произведение X ₁ × ⋯ × X _J × ⋯ × X _K к значению proj _j  ( x ) = x _j . ^[1] Эта карта всегда сюръективна . ^{[ необходима цитата ]}
  • Отображение, которое переводит элемент в его класс эквивалентности при заданном отношении эквивалентности, известно какканоническая проекция . ^{[ необходима цитата ]}
  • Карта оценки отправляет функцию f в значение f ( x ) для фиксированного x . Пространство функций Y ^X можно отождествить с декартовым произведением , а оценочная карта - это карта проекции из декартова произведения. ^{[ необходима цитата ]}${\ textstyle \ prod _ {я \ в X} Y}$
• Для реляционных баз данных и запросов языков , то проекция является унарной операция записывается в виде , где есть множество имен атрибутов. Результат такой проекции определяется как набор, который получается, когда все кортежи в R ограничены набором . ^{[2] [3] [ требуется проверка ]} R - отношение базы данных . ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle \ Pi _ {a_ {1}, \ ldots, a_ {n}} (R)}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$${\ Displaystyle \ {а_ {1}, \ ldots, а_ {п} \}}$
• В сферической геометрии проекция сферы на плоскость использовалась Птолемеем (~ 150) в его Planisphaerium . ^[4] Метод называется стереографической проекцией и использует плоскость, касательную к сфере, и полюс C, диаметрально противоположный точке касания. Любая точка P на сфере , кроме C определяет линию CP , пересекающую плоскость на проектируемой точки для P . ^[5] Соответствие делает сферу компактификацией с одной точкой для плоскости, когда точка на бесконечности включена, чтобы соответствоватьC , который иначе не имеет проекции на плоскость. Обычным примером является комплексная плоскость, где компактификация соответствует сфере Римана . В качестве альтернативы, полусфера часто проецируется на плоскость с помощью гномонической проекции . ^{[ необходима цитата ]}
• В линейной алгебре - линейное преобразование, которое остается неизменным при двукратном применении ( p ( u ) = p ( p ( u ))), другими словами, идемпотентный оператор. Например, отображение, которое переводит точку ( x , y , z ) в трех измерениях в точку ( x , y , 0) на плоскости, является проекцией. Этот тип проекции естественным образом обобщается на любое количество измерений n для источника и k ≤ n для цели отображения. Видетьортогональная проекция , проекция (линейная алгебра) . В случае ортогональных проекций пространство допускает разложение как произведение, и оператор проекции также является проекцией в этом смысле. ^{[6] [ требуется проверка ]}
• В дифференциальной топологии любой пучок волокон включает карту проекции как часть своего определения. По крайней мере, локально эта карта выглядит как проекционная карта в смысле топологии продукта и поэтому является открытой и сюръективной. ^{[ необходима цитата ]}
• В топологии , А втягивании непрерывного отображения г : Х → Х , который ограничивает к карте идентичности на ее изображение. ^{[7] [8]} Это удовлетворяет аналогичному условию идемпотентности r ² = r и может считаться обобщением карты проекции. Изображение ретракции называется ретрактом исходного пространства. Втягивание, гомотопное идентичности, называется ретракцией деформации . Этот термин также используется в теории категорий для обозначения любого расщепленного эпиморфизма. ^{[ необходима цитата ]}
• Скалярная проекция (или решительный) одного вектора на другой. ^{[ необходима цитата ]}
• В теории категорий указанное выше понятие декартова произведения множеств можно обобщить на произвольные категории . Продукт некоторых объектов имеет каноническую проекцию морфизм для каждого фактора. Эта проекция примет множество форм в разных категориях. Проекция из декартово произведения из множеств , то топология произведения из топологических пространств (который всегда сюръективна и открыта ), или из прямого произведения из групп и т.д. Хотя эти морфизмы часто эпиморфизмыи даже сюръективными они не должны быть. ^{[9] [ требуется проверка ]}

использованная литература

дальнейшее чтение

• Томас Крейг (1882) Трактат о прогнозах из Исторического математического собрания Мичиганского университета .