Процесс Коши

В теории вероятностей процесс Коши - это разновидность случайного процесса . Различают симметричную и асимметричную формы процесса Коши. ^[1] Неуказанный термин «процесс Коши» часто используется для обозначения симметричного процесса Коши. ^[2]

Процесс Коши обладает рядом свойств:

Симметричный процесс Коши [ править ]

Симметричный процесс Коши может быть описан броуновским движением или винеровским процессом с подчинением Леви . ^[7] Подчиненный Леви - это процесс, связанный с распределением Леви, имеющим параметр местоположения и масштабный параметр . ^[7] Распределение Леви является частным случаем обратного гамма-распределения . Итак, используя для представления процесса Коши и для представления подчиненного Леви, симметричный процесс Коши можно описать как: ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle т ^ {2} / 2}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle L}$

{\ Displaystyle C (t; 0,1) \;: = \; W (L (t; 0, t ^ {2} / 2)).}

Распределение Леви - это вероятность первого момента достижения броуновского движения, и, таким образом, процесс Коши по существу является результатом двух независимых процессов броуновского движения. ^[7]

Представление Леви – Хинчина для симметричного процесса Коши представляет собой триплет с нулевым сносом и нулевой диффузией, дающий триплет Леви – Хинчина для , где . ^[8] ${\ displaystyle (0,0; W)}$ ${\ Displaystyle W (dx) = dx / (\ pi x ^ {2})}$

Маргинальная характеристическая функция симметричного процесса Коши имеет вид: ^[1]^[8]

{\ displaystyle \ operatorname {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = e ^ {- t | \ theta |}.}

Маргинальное распределение вероятностей симметричного процесса Коши - это распределение Коши с плотностью ^[8]^[9]

{\ displaystyle f (x; t) = {1 \ over \ pi} \ left [{t \ over x ^ {2} + t ^ {2}} \ right].}

Асимметричный процесс Коши [ править ]

Асимметричный процесс Коши определяется в терминах параметра . Вот это перекос параметр, и его абсолютное значение должно быть меньше или равно 1. ^[1] В случае , когда процесс считается полностью асимметричным процессом Коши. ^[1] ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ Displaystyle | \ бета | = 1}$

Триплет Леви-Хинчина имеет вид , где , где , и . ^[1] ${\ displaystyle (0,0; W)}$ ${\ displaystyle W (dx) = {\ begin {cases} Ax ^ {- 2} \, dx & {\ text {if}} x> 0 \\ Bx ^ {- 2} \, dx & {\ text {if} } x <0 \ end {case}}}$ ${\ displaystyle A \ neq B}$ ${\ displaystyle A> 0}$ ${\ displaystyle B> 0}$

Учитывая это, является функцией и . ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Характеристическая функция асимметричного распределения Коши имеет вид ^[1]

{\ displaystyle \ operatorname {E} {\ Big [} e ^ {i \ theta X_ {t}} {\ Big]} = e ^ {- t (| \ theta | + i \ beta \ theta \ ln | \ тета | / (2 \ pi))}.}

Маргинальное распределение вероятностей асимметричного процесса Коши является устойчивым распределением с индексом устойчивости (т. Е. Параметром α), равным 1.

Ссылки [ править ]

^ Б с д е е г Коваленко, IN; и другие. (1996). Модели случайных процессов: Справочник для математиков и инженеров . CRC Press. С. 210–211. ISBN 9780849328701.
^ а б Энгельберт, HJ, Куренок, В.П. и Залинеску, А. (2006). «О существовании и единственности отраженных решений стохастических уравнений, управляемых симметричными устойчивыми процессами». В Кабанов, Ю.; Липцер, Р .; Стоянов, Дж. (Ред.). От стохастического исчисления к математическим финансам: Ширяевский сборник . Springer. п. 228 . ISBN 9783540307884.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Винкель, М. "Введение в процессы Леви" (PDF) . С. 15–16 . Проверено 7 февраля 2013 .
^ Джейкоб, Н. (2005). Псевдодифференциальные операторы и марковские процессы: марковские процессы и приложения, Том 3 . Imperial College Press. п. 135. ISBN 9781860945687.
^ Bertoin, J. (2001). «Некоторые элементы процессов Леви». В Шанбхаге, Д. Н. (ред.). Случайные процессы: теория и методы . Gulf Professional Publishing. п. 122. ISBN 9780444500144.
^ Круз, Д.П . ; Taimre, T .; Ботев, З.И. (2011). Справочник по методам Монте-Карло . Джон Вили и сыновья. п. 214 . ISBN 9781118014950.
^ a b c Applebaum, D. "Лекции по процессам Леви и стохастическому исчислению, Брауншвейг; Лекция 2: Процессы Леви" (PDF) . Университет Шеффилда. С. 37–53.
^ a b c Cinlar, E. (2011). Вероятность и стохастика . Springer. п. 332 . ISBN 9780387878591.
^ Ито, К. (2006). Основы случайных процессов . Американское математическое общество. п. 54. ISBN 9780821838983.

[models-1] Б с д е е г Коваленко, IN; и другие. (1996). Модели случайных процессов: Справочник для математиков и инженеров . CRC Press. С. 210–211. ISBN 9780849328701.

[stable-2] а б Энгельберт, HJ, Куренок, В.П. и Залинеску, А. (2006). «О существовании и единственности отраженных решений стохастических уравнений, управляемых симметричными устойчивыми процессами». В Кабанов, Ю.; Липцер, Р .; Стоянов, Дж. (Ред.). От стохастического исчисления к математическим финансам: Ширяевский сборник . Springer. п. 228 . ISBN 9783540307884.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Winkel-3] Винкель, М. "Введение в процессы Леви" (PDF) . С. 15–16 . Проверено 7 февраля 2013 .

[4] Джейкоб, Н. (2005). Псевдодифференциальные операторы и марковские процессы: марковские процессы и приложения, Том 3 . Imperial College Press. п. 135. ISBN 9781860945687.

[5] Bertoin, J. (2001). «Некоторые элементы процессов Леви». В Шанбхаге, Д. Н. (ред.). Случайные процессы: теория и методы . Gulf Professional Publishing. п. 122. ISBN 9780444500144.

[6] Круз, Д.П . ; Taimre, T .; Ботев, З.И. (2011). Справочник по методам Монте-Карло . Джон Вили и сыновья. п. 214 . ISBN 9781118014950.

[applebaum-7] Applebaum, D. "Лекции по процессам Леви и стохастическому исчислению, Брауншвейг; Лекция 2: Процессы Леви" (PDF) . Университет Шеффилда. С. 37–53.

[cinlar-8] Cinlar, E. (2011). Вероятность и стохастика . Springer. п. 332 . ISBN 9780387878591.

[essentials-9] Ито, К. (2006). Основы случайных процессов . Американское математическое общество. п. 54. ISBN 9780821838983.

[1]

vтеСтохастические процессы
Дискретное время	Процесс Бернулли Ветвящийся процесс Китайский ресторанный процесс Процесс Гальтона – Ватсона Независимые и одинаково распределенные случайные величины Цепь Маркова Процесс Морана Случайная прогулка Со стертой петлей Избегать себя Пристрастный Максимальная энтропия
Непрерывное время	Аддитивный процесс Бесселевский процесс Процесс рождения – смерти чистое рождение Броуновское движение Мост Экскурсия Дробное Геометрический Меандр Процесс Коши Контактный процесс Случайное блуждание в непрерывном времени Процесс Кокса Процесс диффузии Эмпирический процесс Валочный процесс Процесс Флеминга – Виота Гамма-процесс Геометрический процесс Процесс Хокса Процесс охоты Системы взаимодействующих частиц Ито диффузия Процесс Ито Скачок диффузии Перейти процесс Леви процесс Местное время Марковский аддитивный процесс Процесс Маккина – Власова Процесс Орнштейна – Уленбека Пуассоновский процесс Сложный Неоднородный Эволюция Шрамма – Лёвнера Семимартингейл Сигма-мартингейл Стабильный процесс Суперпроцесс Телеграфный процесс Вариант гамма-процесса Винеровский процесс Венская колбаса
Обе	Ветвящийся процесс Модель Гальвеса – Лёхербаха Гауссовский процесс Скрытая марковская модель (HMM) Марковский процесс Мартингейл Отличия Местный Суб- Супер- Случайная динамическая система Регенеративный процесс Процесс продления Стохастические цепочки с памятью переменной длины белый шум
Поля и прочее	Процесс Дирихле Гауссовское случайное поле Мера Гиббса Модель Хопфилда Модель Изинга Модель Поттса Логическая сеть Марковское случайное поле Перколяция Процесс Питмана – Йорка Точечный процесс Кокс Пуассон Случайное поле Случайный график
Модели временных рядов	Модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) Модель авторегрессионного интегрированного скользящего среднего (ARIMA) Модель авторегрессии (AR) Модель авторегрессии – скользящего среднего (ARMA) Модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH) Модель скользящего среднего (MA)
Финансовые модели	Модель ценообразования биномиальных опционов Блэк – Дерман – Той Черный – Карасинский Блэк – Скоулз Чен Постоянная эластичность дисперсии (CEV) Кокс – Ингерсолл – Росс (CIR) Гарман – Кольхаген Хит – Джарроу – Мортон (HJM) Heston Хо – Ли Корпус – Белый Рынок LIBOR Рендлман – Барттер Волатильность SABR Вашичек Уилки
Актуарные модели	Бюльманн Крамер-Лундберг Рисковый процесс Спарре – Андерсон
Модели организации очередей	Масса Жидкость Обобщенная сеть массового обслуживания M / G / 1 M / M / 1 М / м / ц
Характеристики	Càdlàg тропы Непрерывный Непрерывные пути Эргодический Заменяемый Валочно-непрерывный Гаусс – Марков Марков Смешивание Кусочно-детерминированный Предсказуемый Постепенно измеримый Самоподобный Стационарный Обратимый во времени
Предельные теоремы	Центральная предельная теорема Теорема Донскера Теоремы Дуба о сходимости мартингалов Эргодическая теорема Теорема Фишера – Типпета – Гнеденко. Принцип большого отклонения Закон больших чисел (слабый / сильный) Закон повторного логарифма Максимальная эргодическая теорема Теорема Санова Законы нуля или единицы ( Блюменталь , Борель – Кантелли , Энгельберт – Шмидт , Хьюитт – Сэвидж , Колмогоров , Леви )
Неравенства	Буркхолдер – Дэвис – Ганди Мартингейл Дуба Апкроссинг Дуба Кунита – Ватанабэ
Инструменты	Формула Камерона – Мартина Сходимость случайных величин Показательная величина Далеана-Даде Теорема Дуба о разложении Теорема Дуба – Мейера о разложении Теорема Дуба об необязательной остановке Формула Дынкина Формула Фейнмана – Каца Фильтрация Теорема Гирсанова Генератор бесконечно малых Ито интегральный Лемма Ито Теорема Карунена – Лоэва Колмогорова теорема непрерывности Колмогорова теорема о продолжении Метрика Леви – Прохорова Исчисление Маллявэна Теорема о мартингальном представлении Теорема о необязательной остановке Теорема Прохорова Квадратичная вариация Принцип отражения Скороход интеграл Теорема Скорохода о представлении Пространство Скорохода Конверт Снелла Стохастическое дифференциальное уравнение Танака Время остановки Интеграл Стратоновича Равномерная интегрируемость Обычные гипотезы Винеровское пространство Классический Абстрактный
Дисциплины	Актуарная математика Теория управления Эконометрика Эргодическая теория Теория экстремальных ценностей (EVT) Теория больших отклонений Математические финансы Математическая статистика Теория вероятности Теория массового обслуживания Теория обновления Теория разорения Обработка сигналов Статистика Система на чип- дизайне Стохастический анализ Анализ временных рядов Машинное обучение
Список тем Категория