Длина дуги

Определение длины сегмента неправильной дуги также называется выпрямлением кривой. Появление исчисления бесконечно малых привело к общей формуле, которая в некоторых случаях дает решения в замкнутой форме .

Кривую на плоскости можно аппроксимировать, соединив конечное число точек на кривой с помощью отрезков прямой, чтобы создать многоугольный путь . Поскольку вычислить длину каждого линейного отрезка несложно (например, с помощью теоремы Пифагора в евклидовом пространстве), общую длину аппроксимации можно найти путем суммирования длин каждого линейного отрезка;это приближение известно как (кумулятивное) хордовое расстояние . ^[1]

Если кривая еще не является многоугольным путем, использование все большего количества сегментов меньшей длины приведет к лучшим приближениям. Длины последовательных приближений не будут уменьшаться и могут неограниченно возрастать, но для гладких кривых они будут стремиться к конечному пределу по мере того, как длины отрезков становятся сколь угодно малыми .

Для некоторых кривых существует наименьшее число , которое является верхней границей длины всех полигональных аппроксимаций. Эти кривые называются спрямляемыми , а длина дуги определяется числом . ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle L}$

Пусть — инъективная и непрерывно дифференцируемая функция. Длину кривой можно определить как предел суммы длин отрезков прямой для регулярного разбиения по мере приближения числа отрезков к бесконечности. Это означает ${\ Displaystyle е \ двоеточие [а, б] \ к \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle е}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$

где для Это определение эквивалентно стандартному определению длины дуги как интеграла: ${\ displaystyle t_ {i} = a + i (ba) / N = a + i \ Delta t}$ ${\ Displaystyle я = 0,1, \ dotsc, Н.}$