В математике , особенно в векторном исчислении и дифференциальной топологии , замкнутая форма - это дифференциальная форма α , внешняя производная которой равна нулю ( dα = 0 ), а точная форма - это дифференциальная форма α , которая является внешней производной другой дифференциальной формы β. . Таким образом, точная форма в изображении из д и закрытая форма находится в ядре в г .
Для точной формы α , α = dβ для некоторой дифференциальной формы β степени меньше, чем у α . Форма β называется «потенциальной формой» или «примитивной» для α . Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не единственно, но может быть изменено добавлением любой замкнутой формы степени на один меньше, чем у α .
Поскольку d 2 = 0 , каждая точная форма обязательно замкнута. Вопрос о том, является ли каждая замкнутая форма точной, зависит от топологии интересующей области. На стягиваемой области каждая замкнутая форма точна по лемме Пуанкаре . Более общие вопросы такого рода на произвольном дифференцируемом многообразии являются предметом когомологий де Рама , которые позволяют получать чисто топологическую информацию с помощью дифференциальных методов.
Примеры [ править ]
Простым примером формы, которая является замкнутой, но не точной, является 1-форма [примечание 1], заданная производной аргумента на проколотой плоскости . Поскольку на самом деле это не функция (см. Следующий абзац), это не точная форма. Тем не менее, имеет исчезающую производную и поэтому закрыт.
Обратите внимание , что аргумент только определяется с точностью до целого кратного , так как одна точка может быть назначены различные аргументы , , и т.д. Мы можем присвоить аргументы в локально последовательно вокруг , но не глобально последовательным образом. Это связано с тем, что, если мы проследим цикл от начала координат до начала координат против часовой стрелки и обратно , аргумент увеличивается на . Обычно аргумент меняется на
по петле, ориентированной против часовой стрелки .
Несмотря на то, что аргумент технически не является функцией, различные локальные определения точки отличаются друг от друга константами. Поскольку производная в использует только локальные данные, и поскольку функции, которые различаются константой, имеют одну и ту же производную, аргумент имеет глобально четко определенную производную " ". [заметка 2]
В результате получается одна форма, которая на самом деле не является производной какой-либо четко определенной функции . Мы говорим , что это не точная . В явном виде дается как:
который при осмотре имеет нулевую производную. Поскольку имеет нулевую производную, мы говорим, что она замкнута .
Эта форма создает группы когомологий де Рамы означает , что любая замкнутая форма является суммой точной формы и кратно : , где приходится нетривиальным интеграл контура вокруг начала координат, которая является единственным препятствием к закрытой форме на проколотая плоскость (локально производная потенциальной функции ), являющаяся производной глобально определенной функции.
Примеры в малых размерах [ править ]
Дифференциальные формы в R 2 и R 3 были хорошо известны в математической физике девятнадцатого века. На плоскости 0-формы - это просто функции, а 2-формы - это функции, умноженные на базовый элемент площади dx ∧ dy , так что это 1-формы
которые представляют реальный интерес. Формула для внешней производной d здесь имеет вид
где нижние индексы обозначают частные производные . Поэтому условие , чтобы быть закрыто является
В этом случае, если h ( x , y ) - функция, то
Импликация от «точного» к «замкнутому» тогда является следствием симметрии вторых производных по x и y .
Теорема градиента утверждает, что 1-форма точна тогда и только тогда, когда линейный интеграл формы зависит только от концов кривой, или, что то же самое, если интеграл вокруг любой гладкой замкнутой кривой равен нулю.
Аналогии с векторным полем [ править ]
На риманове многообразия , или в более общем виде псевдориманов многообразия , K -форм соответствует K -векторных полей (по двойственности через метрику ), так что есть понятие векторного поля , соответствующее закрытой или точной форма.
В трехмерном пространстве точное векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) называется консервативным векторным полем , что означает, что это производная ( градиент ) 0-формы (гладкое скалярное поле), называемое скалярным потенциалом . Замкнутое векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) - это поле, у которого производная ( ротор ) равна нулю, и называется безвихревым векторным полем .
Если рассматривать векторное поле как 2-форму, замкнутое векторное поле - это такое, производная ( дивергенция ) которого равна нулю, и называется несжимаемым потоком (иногда соленоидальным векторным полем ). Термин «несжимаемый» используется потому, что ненулевое расхождение соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью.
Концепции консервативных и несжимаемых векторных полей обобщаются до n измерений, потому что градиент и дивергенция обобщаются до n измерений; curl определяется только в трех измерениях, поэтому концепция безвихревого векторного поля не обобщается.
Лемма Пуанкаре [ править ]
Леммы Пуанкаре утверждает , что если В открытый шар в R п , любой гладкой замкнутой р -формы ω , определенная на B является точным, для любого целого р с 1 ≤ р ≤ н . [1]
Сдвигая, если необходимо, можно считать, что шар B имеет центр 0. Пусть α s поток на R n, определенный формулой α s x = e - s x . При s ≥ 0 он переводит B в себя и индуцирует действие на функциях и дифференциальных формах. Производная потока - это векторное поле X, заданное на функциях f формулой Xf = d ( α s f ) / ds | s = 0 : эторадиальное векторное поле - r ∂/∂ r= −∑ x i ∂/∂ х я. Производная потока по формам определяет производную Ли по X, задаваемую формулой . В частности
Теперь определим
По основной теореме исчисления имеем, что
Поскольку это внутреннее умножение или сжатие векторным полем X , формула Картана утверждает, что [2]
Используя тот факт , что г коммутирует с L X , и час , мы получаем:
Параметр
ведет к идентичности
Отсюда следует, что если ω замкнуто, т. Е. Dω = 0 , то d ( g ω ) = ω , так что ω точна и лемма Пуанкаре доказана.
(На языке гомологической алгебры , г является «стягивающей гомотопией».)
Тот же метод применяется к любому открытому множеству в R n, которое имеет звездообразную форму около 0, то есть к любому открытому множеству, содержащему 0 и инвариантному относительно α t для .
Другое стандартное доказательство леммы Пуанкаре использует формулу гомотопической инвариантности и может быть найдено в Singer & Thorpe (1976 , стр. 128-132), Lee (2012) , Tu (2011) и Bott & Tu (1982) . [3] [4] [5] Локальная форма оператора гомотопии описана в Edelen (2005), а связь леммы с формой Маурера-Картана объясняется в Sharpe (1997) . [6] [7]
Эту формулировку можно сформулировать в терминах гомотопии между открытыми областями U в R m и V в R n . [8] Если F ( t , x ) является гомотопией из [0,1] × U в V , положим F t ( x ) = F ( t , x ). Для получения в р -форма на V , определим
потом
Пример : в двух измерениях лемма Пуанкаре может быть доказана непосредственно для замкнутых 1-форм и 2-форм следующим образом. [9]
Если ω = p dx + q dy - замкнутая 1-форма на ( a , b ) × ( c , d ) , то p y = q x . Если ω = df, то p = f x и q = f y . Набор
так что g x = p . Тогда h = f - g должно удовлетворять h x = 0 и h y = q - g y . Правая часть здесь не зависит от x, поскольку ее частная производная по x равна 0. Таким образом,
и поэтому
Аналогично, если Ω = r dx ∧ dy, то Ω = d ( a dx + b dy ) с b x - a y = r . Таким образом, решение задается формулой a = 0 и
Формулировка как когомология [ править ]
Когда разность двух замкнутых форм является точной формой, они называются когомологичными друг другу. То есть, если ζ и η - замкнутые формы и можно найти такое β , что
тогда говорят, что ζ и η когомологичны друг другу. Иногда говорят, что точные формы когомологичны нулю . Множество всех форм, когомологичных данной форме (и, следовательно, друг другу), называется классом когомологий де Рама ; общее изучение таких классов известно как когомологии . Нет никакого смысла спрашивать, точна ли 0-форма (гладкая функция), поскольку d увеличивает степень на 1; но подсказки из топологии подсказывают, что «точной» следует называть только нулевую функцию. Классы когомологий отождествляются с локально постоянными функциями.
Используя сжимающие гомотопии, подобные тем, которые использовались при доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что когомологии де Рама гомотопически инвариантны. [10]
Применение в электродинамике [ править ]
В электродинамике важен случай магнитного поля, создаваемого стационарным электрическим током. Там речь идет о векторном потенциале этого поля. Этот случай соответствует k = 2 , и определяющая область - полная . Вектор плотности тока равен . Это соответствует нынешней двухформатной
Для получения магнитного поля один имеют аналогичные результаты: она соответствует индукциям два-формы , и может быть получена из векторного потенциала , или соответствующей одной формы ,
Таким образом, векторный потенциал соответствует однообразной форме потенциала
Замкнутость магнитной индукции две-формы соответствует свойству магнитного поля , что оно является источником свободной: , то есть, что нет магнитных монополей .
В специальной калибровке это означает, что для i = 1, 2, 3
(Здесь постоянная магнитная проницаемость вакуума.)
Это уравнение замечательно, потому что она полностью соответствует известной формуле для электрического поля , а именно для электростатического кулоновского потенциала в виде плотности заряда . Здесь уже можно догадаться, что
- а также
- а также
- а также
может быть унифицирован до количества с шестью рсп. четыре нетривиальных компонентов, что является основой релятивистской инвариантности из уравнений Максвелла .
Если условие стационарности остается, на левой стороне упомянутого выше уравнения следует добавить, в уравнениях , к трем пространственным координатам, в качестве четвертой переменной также время т , в то время как на правой сторона, в , так называемом «запаздывающего времени» , должен быть использован, т.е. добавляется к аргументу плотности тока. Наконец, как и раньше, интегрируют по трем штриховым координатам в пространстве. (Как обычно, c - это скорость света в вакууме.)
Заметки [ править ]
- ^ Это злоупотребление обозначениями. Аргументне является четко определенной функцией ине является дифференциалом какой-либо нулевой формы. Последующее обсуждение подробно рассматривает этот вопрос.
- ^ В статье, посвященной пространствам, есть дополнительная информация о математике функций, которые определены только локально.
Сноски [ править ]
- Перейти ↑ Warner 1983 , pp. 155-156
- ^ Уорнер 1983 , стр. 69-72
- ^ Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-9982-5. OCLC 808682771 .
- ^ Ту, Лоринг В. (2011). Введение в многообразия (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4419-7400-6. OCLC 682907530 .
- ^ Ботт, Рауль; Ту, Лоринг В. (1982). Дифференциальные формы в алгебраической топологии . Тексты для выпускников по математике. 82 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-3951-0 . ISBN 978-1-4419-2815-3.
- ^ Edelen, Dominic GB (2005). Прикладное внешнее исчисление (Ред. Ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-43871-6. OCLC 56347718 .
- Перейти ↑ Sharpe, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9. OCLC 34356972 .
- Перейти ↑ Warner 1983 , pp. 157, 160
- ^ Napier & Рамачандрану 2011 , стр. 443-444
- Перейти ↑ Warner 1983 , p. 162-207
Ссылки [ править ]
- Фландрия, Харлей (1989) [1963]. Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8..
- Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3
- Напье, Терренс; Рамачандран, Мохан (2011), Введение в римановы поверхности , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
- Певица, ИМ ; Торп, Дж. А. (1976), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , Университет Бангалора, ISBN 0721114784