В квантовой механике , полный набор коммутирующих наблюдаемых (CSCO) представляет собой набор коммутирующих операторов , чьи собственные полностью определить состояние системы. [1]
Поскольку каждая пара наблюдаемых в наборе коммутирует, все наблюдаемые совместимы, так что измерение одной наблюдаемой не влияет на результат измерения другой наблюдаемой в наборе. Следовательно, нет необходимости указывать порядок, в котором измеряются различные наблюдаемые. Измерение полного набора наблюдаемых представляет собой полное измерение в том смысле, что оно проецирует квантовое состояние системы на уникальный и известный вектор в базисе, определяемом набором операторов. То есть, чтобы подготовить полностью заданное состояние, мы должны взять любое состояние произвольно, а затем выполнить последовательность измерений, соответствующих всем наблюдаемым в наборе, пока оно не станет однозначно заданным вектором в гильбертовом пространстве..
Теорема совместимости
У нас есть две наблюдаемые, а также , представлена а также . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
- а также являются совместимыми наблюдаемыми.
- а также имеют общую собственную основу.
- Операторы а также являются коммутирующими , то есть,.
Доказательства
Доказательство коммутации совместимых наблюдаемых. Позволять быть полным набором общих собственных наборов двух совместимых наблюдаемых а также , соответствующие множествам а также соответственно. Тогда мы можем написать Теперь мы можем раскрыть любое произвольное состояние кет в комплекте в виде
Итак, используя приведенный выше результат, мы видим, что
Из этого следует , что означает, что два оператора коммутируют.
Доказательство того, что коммутирующие наблюдаемые обладают полным набором общих собственных функций. Когда имеет невырожденные собственные значения:
Позволять быть полным набором собственных наборов соответствующий набору собственных значений . Если операторы а также добираться до работы, мы можем написать
Итак, можно сказать, что является собственным набором соответствующему собственному значению . Поскольку оба а также - собственные наборы, связанные с одним и тем же невырожденным собственным значением , они могут отличаться не более чем на мультипликативную константу. Мы называем эту константу. Так,
- ,
что значит является собственным набором , и, следовательно, а также одновременно .
Когда имеет вырожденные собственные значения:
Мы полагаем является -кратно вырожденные. Пусть соответствующие линейно независимые собственные наборы имеют вид С , мы рассуждаем, как указано выше, чтобы найти, что является собственным набором соответствующее вырожденному собственному значению. Итак, мы можем расширить в базисе вырожденных собственных наборов :
В - коэффициенты разложения. Подведем итоги по всем с участием константы . Так,
Так, будет собственным набором с собственным значением если мы имеем
Это представляет собой систему линейные уравнения для констант . Нетривиальное решение существует, если
Это уравнение порядка в , и имеет корнеплоды. Для каждого корня у нас есть ценность , сказать, . Теперь кет
одновременно является собственным набором а также с собственными значениями а также соответственно.
Обсуждение
Мы рассматриваем две вышеупомянутые наблюдаемые а также . Предположим, что существует полный набор кетов каждый элемент которого одновременно является собственным набором а также . Тогда мы говорим, что а также являются совместимыми . Если обозначить собственные значения а также соответствующий соответственно а также , мы можем написать
Если система находится в одном из собственных состояний, скажем, , то оба а также можно одновременно измерить с любым произвольным уровнем точности, и мы получим результат а также соответственно. Эту идею можно распространить на более чем две наблюдаемые.
Примеры совместимых наблюдаемых
Декартовы компоненты оператора позиции находятся , а также . Все эти компоненты совместимы. Аналогично декартовы компоненты оператора импульса, это , а также также совместимы.
Формальное определение
Набор наблюдаемых называется CSCO, если:
- Все наблюдаемые коммутируют попарно.
- Если мы укажем собственные значения всех операторов в CSCO, мы идентифицируем уникальный собственный вектор в гильбертовом пространстве системы.
Если нам дан CSCO, мы можем выбрать базис для пространства состояний, состоящего из общих собственных векторов соответствующих операторов. Мы можем однозначно идентифицировать каждый собственный вектор по набору собственных значений, которым он соответствует.
Обсуждение
У нас есть оператор наблюдаемого , который имеет все невырожденные собственные значения. В результате каждому собственному значению соответствует одно уникальное собственное состояние, что позволяет нам помечать их соответствующими собственными значениями. Например, собственное состояние соответствующему собственному значению можно обозначить как . Такая наблюдаемая сама по себе является самодостаточным CSCO.
Однако если некоторые из собственных значений являются вырожденными (например, имеют вырожденные уровни энергии ), то вышеупомянутый результат больше не выполняется. В таком случае нам нужно различать собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению. Для этого вводится вторая наблюдаемая (назовем ее), который совместим с . Теорема совместимости говорит нам, что общий базис собственных функций а также можно найти. Теперь, если каждая пара собственных значений однозначно определяет вектор состояния этого базиса, мы утверждаем, что сформировали CSCO: набор . Вырождение в полностью удален.
Тем не менее может случиться так, что вырождение полностью не снято. То есть существует хотя бы одна паракоторый не идентифицирует однозначно один собственный вектор. В этом случае мы повторяем описанный выше процесс, добавляя еще одну наблюдаемую, который совместим с обоими а также . Если на основе общих собственных функций, а также уникально, то есть однозначно задается набором собственных значений , то мы сформировали CSCO: . Если нет, мы добавляем еще одну совместимую наблюдаемую и продолжаем процесс до получения CSCO.
Одно и то же векторное пространство может иметь различные полные наборы коммутирующих операторов.
Предположим, нам дан конечный CSCO. Тогда мы можем разложить любое общее состояние в гильбертовом пространстве как
где собственные наборы операторов , и образуют базисное пространство. Это,
- , так далее
Если мы измеряем в состоянии то вероятность того, что мы одновременно измеряем дан кем-то .
Для полного набора коммутирующих операторов мы можем найти уникальное унитарное преобразование, которое одновременно диагонализирует их всех. Если таких унитарных преобразований несколько, то можно сказать, что набор еще не завершен.
Примеры
Атом водорода
Две компоненты оператора углового момента не коммутируют, но удовлетворяют коммутационным соотношениям:
Таким образом, любой CSCO не может включать более одного компонента . Можно показать, что квадрат оператора углового момента, ездит с .
Кроме того, гамильтониан является функцией только и имеет вращательную инвариантность, где приведенная масса системы. Поскольку компоненты являются генераторами вращения, можно показать, что
Следовательно, коммутирующее множество состоит из , один компонент (который считается ) а также . Решение проблемы говорит нам, что без учета спина электронов множествообразует CSCO. Позволять- любое базисное состояние в гильбертовом пространстве водородного атома. потом
То есть набор собственных значений или проще, полностью определяет уникальное собственное состояние атома водорода.
Свободная частица
Для свободной частицы гамильтонианинвариантен относительно переводов. Перевод коммутирует с гамильтонианом:. Однако, если мы выразим гамильтониан в базисе оператора сдвига, мы обнаружим, чтоимеет дважды вырожденные собственные значения. Можно показать, что для создания CSCO в этом случае нам нужен другой оператор, называемый оператором четности., так что . образует CSCO.
Опять же, пусть а также быть вырожденными собственными состояниямисоответствующее собственное значение , т.е.
Вырождение в удаляется оператором импульса .
Так, образует CSCO.
Сложение угловых моментов
Мы рассматриваем случай двух систем, 1 и 2, с соответствующими операторами углового момента а также . Мы можем записать собственные состояния а также в виде и из а также в виде .
Тогда базисными состояниями полной системы являются дано
Следовательно, для полной системы набор собственных значений полностью определяет уникальное базовое состояние, и образует CSCO. Эквивалентно, существует другой набор базисных состояний для системы в терминах оператора полного углового момента. Собственные значения находятся где принимает ценности , и те из находятся где . Базовые состояния операторов а также находятся . Таким образом, мы также можем указать уникальное базисное состояние в гильбертовом пространстве полной системы с помощью набора собственных значений, а соответствующий CSCO - .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ ( Гасиорович 1974 , стр.119 )
- Гасиорович, Стивен (1974), Квантовая физика , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-29281-4.
- Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика . 1 . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-16433-3. OCLC 2089460 .
- Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика . 2 . Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0-471-16435-7. OCLC 45727993 .
- Дирак, РАМ (1958). Принципы квантовой механики . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851208-0. OCLC 534829 .
- Р.П. Фейнман, Р. Б. Лейтон и М. Сэндс: Лекции Фейнмана по физике , Эддисон-Уэсли, 1965 г.
- Р. Шанкар, Принципы квантовой механики , второе издание, Springer (1994).
- Дж. Дж. Сакураи, Современная квантовая механика , переработанное издание, Пирсон (1994).
- Б. Х. Брансден и С. Дж. Джоахейн, Квантовая механика , второе издание, Pearson Education Limited, 2000.
- Для обсуждения теоремы совместимости, Лекционные заметки Школы физики и астрономии Эдинбургского университета. http://www2.ph.ed.ac.uk/~ldeldebb/docs/QM/lect2.pdf .
- Слайд о CSCO в лекциях профессора С. Гупты, Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand3.pdf
- Раздел о свободных частицах в лекциях профессора С. Гупты, Институт фундаментальных исследований Тата, Мумбаи. http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand6.pdf