Нормальное пространство

В топологии и смежных отраслей математики , A нормальное пространство является топологическим пространством Х , который удовлетворяет Аксиома Т ₄ : каждые два непересекающиеся замкнутые множества из X имеют непересекающиеся открытые окрестности . Нормальное хаусдорфово пространство также называется пространством T ₄ . Эти условия являются примерами аксиом отделимости, и их дальнейшие усиления определяют вполне нормальные хаусдорфовы пространства , или пространства T ₅ , и совершенно нормальные хаусдорфовы пространства., или T ₆ пробелов .

Определения

Топологическое пространство X является нормальным пространством , если для любого непересекающихся замкнутых множеств Е и F , существуют окрестности ¯u из Е и V из F , которые также не пересекаются. Более интуитивно это условие говорит, что E и F могут быть разделены окрестностями .

Замкнутые множества E и F , здесь представленные замкнутыми дисками на противоположных сторонах изображения, разделены своими соответствующими окрестностями U и V , которые здесь представлены большими, но все же непересекающимися открытыми дисками.

Т ₄ пространства является Т ₁ пространство Х , что является нормальным; это эквивалентно тому, что X является нормальным и хаусдорфовым .

Совершенно нормальное пространство илинаследственно нормальное пространство является топологическим пространствомXтакоечто всякоеподпространствовXс топологией подпространства является нормальным пространством. Оказывается, чтоXполностью нормально тогда и только тогда, когда каждые дваразделенных множествамогут быть разделены окрестностями. Кроме того,Xполностью нормально тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножествоXнормально с топологией подпространства.

Полностью Т ₄ пространства , или Т ₅ пространства является совершенно нормальным Т ₁ пространство топологического пространства X , откуда следует , что Х является Хаусдорфово ; эквивалентно, каждое подпространство X должно быть пространством T ₄ .

Совершенно нормальное пространство является топологическим пространством X , в которой каждые две непересекающиеся замкнутые множества E и F могут быть точно разделены непрерывной функции F от X к реальной линии R : при прообразы {0} и {1} под F являются, соответственно, Е и F . (В этом определении реальная прямая может быть заменена единичным интервалом [0,1].)

Оказывается, что X является совершенно нормальным , если и только если X нормально и каждое замкнутое множество является G _{& delta} набор . Эквивалентно, X является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество является нулевым множеством . Каждое совершенно нормальное пространство автоматически становится совершенно нормальным. ^[1]

Хаусдорфово совершенно нормальное пространство X является Т ₆ пространства , или идеально Т ₄ пространства .

Обратите внимание, что термины «нормальное пространство» и «T ₄ » и производные концепции иногда имеют разное значение. (Тем не менее, «Т ₅ » всегда означает то же самое, что и «полностью Т ₄ », что бы это ни было.) Приведенные здесь определения обычно используются сегодня. Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. История аксиом разделения .

Такие термины, как «нормальное регулярное пространство » и «нормальное хаусдорфово пространство», также встречаются в литературе - они просто означают, что пространство одновременно нормально и удовлетворяет другому упомянутому условию. В частности, нормальное хаусдорфово пространство - это то же самое, что и пространство T ₄ . Учитывая историческую путаницу значений терминов, полезны словесные описания, когда это применимо, то есть «нормальный Хаусдорф» вместо «Т ₄ » или «совершенно нормальный Хаусдорф» вместо «Т ₅ ».

Полностью нормальные пространства и полностью T ₄ пространства обсуждаются в другом месте; они связаны с паракомпактностью .

Локально нормальное пространство является топологическим пространством , где каждая точка имеет открытую окрестность, нормально. Каждое нормальное пространство локально нормально, но обратное неверно. Классическим примером вполне регулярного локально нормального пространства, которое не является нормальным, является плоскость Немыцкого .

Примеры нормальных пространств

Большинство пространств, встречающихся в математическом анализе, являются нормальными хаусдорфовыми пространствами или, по крайней мере, нормальными регулярными пространствами:

• Все метрические пространства (а значит, и все метризуемые пространства ) совершенно нормальны по Хаусдорфу;
• Все псевдометрические пространства (и, следовательно, все псевдометризуемые пространства ) совершенно нормально регулярны, хотя, вообще говоря, не Хаусдорфовы;
• Все компактные хаусдорфовы пространства нормальны;
• В частности, Стоун-чеховское из пространства тихоновскома является нормальным Хаусдорфово;
• Обобщая приведенные выше примеры, все паракомпактные хаусдорфовы пространства нормальны, а все паракомпактные регулярные пространства нормальны;
• Все паракомпактные топологические многообразия являются совершенно нормальными хаусдорфовыми. Однако существуют непаракомпактные многообразия, которые даже не являются нормальными.
• Все порядковые топологии на вполне упорядоченных множествах наследственно нормальны и хаусдорфовы.
• Любое регулярное пространство с подсчетом секунд вполне нормально, и любое регулярное пространство Линделёфа нормально.

Кроме того, все полностью нормальные пространства являются нормальными (даже если они не являются обычными). Пространство Серпинского - пример нормального пространства, которое не является регулярным.

Примеры ненормальных пространств

Важным примером ненормальной топологии является топология Зарисского на алгебраическом многообразии или на спектре кольца , которая используется в алгебраической геометрии .

Ненормальное пространство, имеющее некоторое отношение к анализу, - это топологическое векторное пространство всех функций от вещественной прямой R до самой себя с топологией поточечной сходимости . В более общем смысле , теорема Артур Харольд Стоун утверждает , что продукт из несчетного множества не- компактных метрических пространств никогда не бывает нормальный.

Характеристики

Каждое замкнутое подмножество нормального пространства нормально. Непрерывный и замкнутый образ нормального пространства - это нормально. ^[2]

Основное значение нормальных пространств заключается в том , что они допускают «достаточно» непрерывные реальные -значная функции , как выражаются следующими теоремами действительными для любого нормального пространства X .

Лемма Урысона : если A и B - два непересекающихся замкнутых подмножества X , то существует непрерывная функция f из X в вещественную прямую R такая, что f ( x ) = 0 для всех x в A и f ( x ) = 1 для все х в B . Фактически, мы можем считать, что значения f полностью находятся в пределах единичного интервала [0,1]. (Проще говоря, непересекающиеся замкнутые множества не только разделены окрестностями, но иразделены функцией .)

В более общем смысле, теорема Титце о продолжении : если A - замкнутое подмножество X и f - непрерывная функция от A до R , то существует непрерывная функция F : X → R, которая расширяет f в том смысле, что F ( x ) = е ( х ) для всех х в А .

Если U локально конечное открытое покрытие нормального пространства X , то есть разбиение единицы точно подчинен U . (Это показывает отношение нормальных пространств к паракомпактности .)

Фактически, любое пространство, удовлетворяющее любому из этих трех условий, должно быть нормальным.

Продукт нормальных пространств не обязательно нормально. Этот факт впервые доказал Роберт Соргенфри . Примером этого явления является самолет Зоргенфрея . Фактически, поскольку существуют пространства, которые являются пространствами Даукера , произведение нормального пространства и [0, 1] не обязательно должно быть нормальным. Кроме того, подмножество нормального пространства не обязательно должно быть нормальным (т.е. не каждое нормальное хаусдорфово пространство является полностью нормальным хаусдорфовым пространством), поскольку каждое тихоновское пространство является подмножеством своей компактификации Стоуна – Чеха (которая является нормальной хаусдорфовой). Более явный пример - доска Тихонова . Единственный большой класс пространств произведений нормальных пространств, известных как нормальные, - это произведения компактных хаусдорфовых пространств, поскольку обе компактности (Теорема Тихонова ) и аксиома T ₂ сохраняются при произвольных произведениях. ^[3]

Связь с другими аксиомами разделения

Если нормальное пространство R 0 , то оно фактически полностью регулярное . Таким образом, все от «нормального R ₀ » до «нормального полностью регулярного» - это то же самое, что мы обычно называем нормальным регулярным . Принимая Колмогорову факторы , мы видим , что все нормальные T - пространства являются тихоновскими . Это то, что мы обычно называем нормальными хаусдорфовыми пространствами.

Топологическое пространство называется псевдонормальным, если в нем заданы два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых счетно, существуют непересекающиеся открытые множества, содержащие их. Любое нормальное пространство псевдонормально, но не наоборот.

Контрпримеры к некоторым вариациям этих утверждений можно найти в приведенных выше списках. В частности, пространство Серпинского является нормальным, но не регулярным, в то время как пространство функций из R в себя является тихоновским, но не нормальным.

Цитаты

использованная литература

• Кемото, Нобуюки (2004). «Аксиомы высшего разделения». В КП Харт; Дж. Нагата; JE Vaughan (ред.). Энциклопедия общей топологии . Амстердам: Elsevier Science . ISBN 978-0-444-50355-8.
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис-Холл . ISBN 978-0-13-181629-9.
• Sorgenfrey, RH (1947). «О топологическом произведении паракомпактных пространств» . Бык. Амер. Математика. Soc . 53 (6): 631–632. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1947-08858-3 .
• Стоун, AH (1948). «Паракомпактность и продуктовые пространства» . Бык. Амер. Математика. Soc . 54 (10): 977–982. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1948-09118-2 .
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN 978-0-486-43479-7.