В математике принцип минимакса Куранта дает собственные значения действительной симметричной матрицы . Он назван в честь Ричарда Куранта .
Вступление
Принцип минимакса Куранта дает условие нахождения собственных значений для вещественной симметричной матрицы. Принцип минимакса Куранта заключается в следующем:
Для любой вещественной симметричной матрицы А ,
где есть ли матрица.
Обратите внимание, что вектор x является собственным вектором соответствующего собственного значения λ .
Принцип минимакса Куранта является результатом теоремы о максимуме, которая гласит, что для , A - вещественная симметричная матрица, наибольшее собственное значение задается формулой, где - соответствующий собственный вектор. Также (в теореме о максимуме) последующие собственные значения и собственные векторы находятся по индукции и ортогональны друг другу; следовательно, с участием .
Принцип минимакса Куранта, а также принцип максимума можно представить себе, представив, что если || х || = 1 является гиперсферой, то матрица A деформирует эту гиперсферу в эллипсоид . Когда большая ось на пересекающейся гиперплоскости максимизирована, т. Е. Длина квадратичной формы q ( x ) максимальна, это собственный вектор, а его длина - собственное значение. Все остальные собственные векторы будут перпендикулярны этому.
Принцип минимакса также обобщается на собственные значения положительных самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах , где он обычно используется для изучения проблемы Штурма – Лиувилля .
Смотрите также
Рекомендации
- Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид (1989), Метод математической физики, Vol. Я , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-50447-5(Страницы 31–34; в большинстве учебников «метод максимума-минимума» обычно приписывают Рэлею и Ритцу , которые применили вариационное исчисление в теории звука.)
- Кинер, Джеймс П. Принципы прикладной математики: преобразование и приближение . Кембридж: Westview Press, 2000. ISBN 0-7382-0129-4
- Хорн, Роджер; Джонсон, Чарльз (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press, стр. 179, ISBN 978-0-521-38632-6