В дифференциальной геометрии , то форма кривизны описывает кривизну в виде соединения на главном расслоении . Его можно рассматривать как альтернативу или обобщение тензора кривизны в римановой геометрии .
Определение
Пусть G является группой Ли с алгеброй Ли , а P → B - главное G- расслоение . Пусть ω - связность Эресмана на P (которая является-значная однозначная форма на P ).
Тогда форма кривизны - это-значная 2-форма на P, определяемая
Здесь обозначает внешнюю производную ,определено в статье « Алгебразначная форма Ли », а D обозначает внешнюю ковариантную производную . Другими словами, [1]
где Х , Y являются касательные векторы к Р .
Существует также другое выражение для Ω: если X , Y - горизонтальные векторные поля на P , то [2]
где hZ означает горизонтальную компоненту Z , справа мы идентифицировали вертикальное векторное поле и элемент алгебры Ли, порождающий его ( фундаментальное векторное поле ), иявляется обратной величиной коэффициента нормализации, используемого по соглашению в формуле для внешней производной .
Связь называется плоской, если ее кривизна равна нулю: Ω = 0. Эквивалентно, связь является плоской, если структурная группа может быть сведена к той же основной группе, но с дискретной топологией. См. Также: плоское векторное расслоение .
Форма кривизны в векторном расслоении
Если E → B - векторное расслоение, то можно также рассматривать ω как матрицу 1-форм, и приведенная выше формула становится структурным уравнением Э. Картана:
где является клиновидным продуктом . Точнее, если а также обозначим компоненты ω и Ω соответственно (так что каждый обычная 1-форма, и каждая обычная 2-форма), то
Например, для касательного расслоения в виде риманова многообразия , структура группы О ( п ) и Ω представляет собой 2-форма со значениями в алгебре Ли О ( п ), т.е. антисимметричных матриц . В этом случае форма Ω является альтернативным описанием тензора кривизны , т. Е.
используя стандартные обозначения тензора римановой кривизны.
Бьянки идентичности
Если - каноническая векторнозначная 1-форма на расслоении реперов, кручение в виде соединения является векторной 2-формой, определяемой структурным уравнением
где, как и выше, D обозначает внешнюю ковариантную производную .
Первая идентичность Бьянки принимает форму
Вторая идентичность Бьянки принимает вид
и действительно для любого соединения в основном связке .
Заметки
Рекомендации
- Сошичи Кобаяси и Кацуми Номидзу (1963) Основы дифференциальной геометрии , том I, глава 2.5, форма кривизны и уравнение структуры, стр. 75, Wiley Interscience .