В топологии , A вырез точка является точкой связного пространства таким образом, что его удаление вызывает полученное пространство , чтобы быть отключены. Если удаление точки не приводит к разъединению пробелов, эта точка называется точкой без разреза .
Например, каждая точка линии является точкой разреза, в то время как никакая точка окружности не является точкой разреза.
Точки разреза полезны, чтобы определить, гомеоморфны ли два связных пространства, путем подсчета количества точек разреза в каждом пространстве. Если два пространства имеют разное количество точек разреза, они не гомеоморфны. Классический пример - использование точек разреза, чтобы показать, что линии и окружности не гомеоморфны.
Точки разделения также полезны при описании топологических континуумов , класса пространств, которые сочетают в себе свойства компактности и связности и включают в себя многие знакомые пространства, такие как единичный интервал , круг и тор .
Определение
Формальные определения
Вырез точка из подключенного Т 1 топологического пространства X , является точкой р в X такие , что X - { р } не подключен. Точка, которая не является точкой разреза, называется точкой без разреза .
Непустое связное топологическое пространство X является пространством точек разреза, если каждая точка в X является точкой разреза X.
Основные примеры
- На отрезке [a, b] бесконечно много точек разреза. Все точки, кроме его конечных точек, являются точками разреза, а конечные точки {a, b} не являются точками разреза.
- Открытый интервал (а, б) также имеет бесконечное множество точек нарезки , такие как закрытые интервалы. Поскольку у открытых интервалов нет конечных точек, у них нет точек без разрезов.
- Окружность не имеет точек разреза, и, следовательно, каждая точка круга не имеет разрезов.
Обозначения
- Резки Х представляет собой набор {р, U, V} , где р равно вырез точки X, U и V образуют разделение Х- {р}.
- Также можно записать как X \ {p} = U | V.
Теоремы
Разрезанные точки и гомеоморфизмы
- Разрезанные точки не обязательно сохраняются при непрерывных функциях . Например: f : [0, 2 π ] → R 2 , заданное формулой f ( x ) = (cos x , sin x ). Каждая точка интервала (кроме двух конечных точек) является точкой разреза, но f (x) образует круг, не имеющий точек разреза.
- Разрезанные точки сохраняются при гомеоморфизмах. Следовательно, точка разреза является топологическим инвариантом .
Точки отсечения и континуумы
- Каждый континуум (компактное связное хаусдорфово пространство ) с более чем одной точкой имеет по крайней мере две неразрезанные точки. В частности, каждый открытый набор, который образует разделение результирующего пространства, содержит по крайней мере одну точку без разреза.
- Каждый континуум с двумя точками без разреза гомеоморфен единичному интервалу.
- Если K - континуум с точками a, b и K- {a, b} не связан, K гомеоморфен единичной окружности.
Топологические свойства пространств точек разреза
Неприводимые пространства точек разреза
Определения
Пространство точек разреза неприводимо, если никакое его собственное подмножество не является пространством точек разреза.
Линия Халимского : Пусть быть набором целых чисел и где является основой топологии на . Халимская линия - это множествонаделен этой топологией. Это точка отсечения. Более того, это несводимо.
Теорема
- Топологическое пространство является неприводимым пространством точек разреза тогда и только тогда, когда X гомеоморфно прямой Халимского.
Смотрите также
Точка отсечения (теория графов)
Рекомендации
- Хэтчер, Аллен, Заметки о вводной топологии точек , стр. 20–21.
- Honari, B .; Bahrampour, Y. (1999), "Cut-точечные пространства" (PDF) , Труды Американского математического общества , 127 (9): 2797-2803, DOI : 10,1090 / s0002-9939-99-04839-х
- Уиллард, Стивен (2004). Общая топология . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6. (Первоначально опубликовано компанией Addison-Wesley Publishing Company, Inc. в 1970 г.)