Теорема Дарбу

Теорема Дарбу - это теорема в математической области дифференциальной геометрии и, в частности, дифференциальных форм , частично обобщающая теорему интегрирования Фробениуса . Это основополагающий результат в нескольких областях, главной из которых является симплектическая геометрия . Теорема названа в честь Жана Гастона Дарбу ^[1], который установил ее как решение проблемы Пфаффа . ^[2]

Одно из многих следствий теоремы состоит в том, что любые два симплектических многообразия одной размерности локально симплектоморфны друг другу. То есть любое 2 n -мерное симплектическое многообразие можно сделать локально похожим на линейное симплектическое пространство C ⁿ с его канонической симплектической формой. Аналогичное следствие теоремы имеет и применительно к контактной геометрии .

Заявление и первые последствия [ править ]

Точное заявление выглядит следующим образом. ^[3] Предположим, что это дифференциальная 1-форма на n- мерном многообразии, имеющая постоянный ранг p . Если${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ mathrm {d} \ theta}$

${\ Displaystyle \ тета \ клин \ влево (\ mathrm {d} \ тета \ вправо) ^ {p} = 0}$ везде,

тогда существует локальная система координат, в которой${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {np}, y_ {1}, \ ldots, y_ {p}}$

${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}}$.

Если же, с другой стороны,

${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$ везде,

тогда существует локальная система координат ', в которой${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p}}$

${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{p}\,\mathrm {d} y_{p}+\mathrm {d} x_{p+1}}$.

Обратите внимание, если везде и то есть контактная форма .${\displaystyle \theta \wedge \left(\mathrm {d} \theta \right)^{p}\neq 0}$${\displaystyle n=2p+1}$${\displaystyle \theta }$

В частности, предположим , что симплектическая 2-форма на п = 2 м мерного многообразия М . В окрестности каждой точки p многообразия M по лемме Пуанкаре существует 1-форма с . Более того, удовлетворяет первому набору гипотез теоремы Дарбу, и поэтому локально существует координатная карта U около p, в которой${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \mathrm {d} \theta =\omega }$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta =x_{1}\,\mathrm {d} y_{1}+\ldots +x_{m}\,\mathrm {d} y_{m}}$.

Взяв внешнюю производную теперь показывает

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} \theta =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\ldots +\mathrm {d} x_{m}\wedge \mathrm {d} y_{m}}$

Диаграмма U называется диаграммой Дарбу вокруг p . ^[4] Такими картами можно покрыть многообразие M.

Другими словами, отождествляйтесь с тем, что позволяете . Если это диаграмма Дарбу, то это откат стандартной симплектической формы на :${\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$${\displaystyle z_{j}=x_{j}+{\textit {i}}\,y_{j}}$${\displaystyle \varphi \colon U\to \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle \omega =\phi ^{*}\omega _{0}.\,}$

Сравнение с римановой геометрией [ править ]

Этот результат означает, что в симплектической геометрии нет локальных инвариантов: всегда можно взять базис Дарбу , справедливый вблизи любой заданной точки. Это резко контрастирует с ситуацией в римановой геометрии, где кривизна является локальным инвариантом, а препятствие для метрики локально является суммой квадратов координатных дифференциалов.

Разница заключается в том, что теорема Дарбу утверждает , что ω можно взять стандартную форму в целом окрестности вокруг р . В римановой геометрии метрика всегда может принимать стандартную форму в любой заданной точке, но не всегда в окрестности этой точки.

См. Также [ править ]

• Теорема Каратеодори-Якоби-Ли , обобщение этой теоремы.
• Симплектическая основа

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дарбу, Гастон (1882). "Sur le problème de Pfaff" . Бык. Sci. Математика . 6 : 14–36, 49–68.
• Пфафф, Иоганн Фридрих (1814–1815). "Methodus generalis, aequationes difficarum partialium nec non aequationes Differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integers". Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften в Берлине : 76–136.
• Штернберг, Шломо (1964). Лекции по дифференциальной геометрии . Прентис Холл.
• McDuff, D .; Саламон, Д. (1998). Введение в симплектическую топологию . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-850451-9.

Внешние ссылки [ править ]

• «Доказательство теоремы Дарбу» . PlanetMath .
• Дарбу Дж. К проблеме Пфаффа. по Д.Х. Дельфених
• Дж. Дарбу, "О проблеме Пфаффа (продолжение)", пер. по Д.Х. Дельфених