В статистической механике метод Дарвина – Фаулера используется для вывода функций распределения со средней вероятностью. Он был разработан Чарльзом Гальтоном Дарвином и Ральфом Х. Фаулером в 1922–1923 годах. [1] [2]
Функции распределения используются в статистической физике для оценки среднего числа частиц, занимающих уровень энергии (отсюда их также называют числами заполнения). Эти распределения в основном выводятся как те числа, для которых рассматриваемая система находится в состоянии максимальной вероятности. Но действительно нужны средние числа. Эти средние числа могут быть получены методом Дарвина – Фаулера. Конечно, для систем в термодинамическом пределе (большое количество частиц), как и в статистической механике, результаты такие же, как и при максимизации.
В большинстве текстов по статистической механике функции статистического распределенияв статистике Максвелла-Больцмана , статистики Бозе-Эйнштейна , статистика Ферми-Дирака ) получены путем определения тех , для которых система находится в состоянии максимальной вероятности. Но действительно требуются те, которые имеют среднюю или среднюю вероятность, хотя - конечно - результаты обычно одинаковы для систем с огромным количеством элементов, как в случае статистической механики. Метод получения функций распределения со средней вероятностью был разработан К. Г. Дарвином и Фаулером [2] и поэтому известен как метод Дарвина – Фаулера. Этот метод является наиболее надежной общей процедурой вывода статистических функций распределения. Поскольку в этом методе используется селекторная переменная (фактор, вводимый для каждого элемента, чтобы разрешить процедуру подсчета), метод также известен как метод Дарвина – Фаулера для селекторных переменных. Обратите внимание, что функция распределения - это не то же самое, что вероятность - ср. Распределение Максвелла-Больцмана , распределение Бозе-Эйнштейна , распределение Ферми-Дирака . Также обратите внимание, что функция распределения который является мерой доли тех состояний, которые фактически заняты элементами, определяется выражением или же , где это вырождение уровня энергии энергии а также - количество элементов, занимающих этот уровень (например, в статистике Ферми – Дирака 0 или 1). Общая энергия и общее количество элементов тогда даются а также .
Метод Дарвина-Фаулер был обработан в текстах Э. Шредингера , [3] Фаулер [4] и Фаулер и Е.А. Гуггенхайм , [5] из К. Huang , [6] и HJW Мюллер-Кирстно . [7] Этот метод также обсуждается и используется для вывода конденсации Бозе – Эйнштейна в книге Р. Б. Дингла [ de ] . [8]
Для независимые элементы с наравне с энергией а также для канонической системы в термостате с температурой мы установили
Среднее значение по всем расположениям - это среднее число занятий.
Вставить переменную селектора установив
В классической статистике элементы (а) различимы и могут быть расположены пакетами элементы на уровне чей номер
так что в этом случае
Учитывая (б) вырождение уровня это выражение становится
Переменная селектора позволяет подобрать коэффициент который . Таким образом
и поэтому
Этот результат, который согласуется с наиболее вероятным значением, полученным путем максимизации, не включает единого приближения и, следовательно, является точным и, таким образом, демонстрирует мощь этого метода Дарвина – Фаулера.
У нас есть как указано выше
где это количество элементов на уровне энергии . Поскольку в квантовой статистике элементы неразличимы, предварительный расчет количества способов разделения элементов на пакеты отсутствует.требуется. Следовательно, сумма относится только к сумме возможных значений .
В случае статистики Ферми – Дирака имеем
- или же
на состояние. Есть состояния для уровня энергии . Следовательно, мы имеем
В случае статистики Бозе – Эйнштейна имеем
По той же процедуре, что и раньше, получаем в данном случае
Но
Следовательно
Обобщая оба случая и напоминая определениеу нас есть это коэффициент при в
где верхние знаки относятся к статистике Ферми – Дирака, а нижние знаки - к статистике Бозе – Эйнштейна.
Далее нам нужно оценить коэффициент при в В случае функции который может быть расширен как
коэффициент есть, с помощью теоремы о вычетах Коши ,
Отметим, что аналогично коэффициент в приведенном выше можно получить как
где
Дифференцируя, получаем
а также
Теперь оценивают первую и вторую производные от в стационарной точке на котором . Этот метод оценкивокруг седловой точки известен как метод крутого спуска . Тогда получается
У нас есть и поэтому
(+1 незначительно, так как большой). Мы вскоре увидим, что это последнее соотношение есть просто формула
Получаем среднее число заполнения оценивая
Это выражение дает среднее количество элементов от суммы в объеме которые занимают при температуре 1-частичный уровень с вырождением (см., например, априорную вероятность ). Чтобы соотношение было надежным, необходимо проверить, что вклады более высокого порядка изначально уменьшаются по величине, так что расширение вокруг седловой точки действительно дает асимптотическое разложение.