Степени (в заполнена, степень дуги , дуга степени , или arcdegree ), обычно обозначается ° (в символ степени ), [4] представляет собой результат измерения в плоскости угла , в котором один полный оборот составляет 360 градусов. [5]
Степень | |
---|---|
Система единиц | Единица, не входящая в СИ |
Единица | Угол |
Символ | ° [1] [2] или град [3] |
Конверсии | |
1 ° [1] [2] дюйм ... | ... равно ... |
повороты | 1/360 повернуть |
радианы | π/180 рад ≈ 0,01745 .. рад |
миллирадианы | 50 · π/9 мрад ≈ 17,45 .. мрад |
углы | 10/9грамм |
Это не единица СИ - единицей угловой меры СИ является радиан, - но она упоминается в брошюре СИ как принятая единица . [6] Поскольку полный оборот равен 2 π радиан, один градус эквивалентен π/180 радианы.
История
Первоначальная мотивация выбора градуса как единицы вращения и углов неизвестна. Одна теория утверждает, что это связано с тем, что 360 - это примерно количество дней в году. [5] Древние астрономы заметили, что солнце, которое следует по эклиптической траектории в течение года, кажется, продвигается по своему пути примерно на один градус каждый день. Некоторые древние календари , такие как персидский и вавилонский , использовали 360 дней в году. Использование календаря на 360 дней может быть связано с использованием шестидесятеричных чисел.
Другая теория состоит в том, что вавилоняне разделили круг, используя угол равностороннего треугольника в качестве основной единицы, а затем разделили последний на 60 частей, следуя своей шестидесятеричной системе счисления. [8] [9] Самая ранняя тригонометрия , используемая вавилонскими астрономами и их греческими последователями, была основана на хордах круга. Хорда длиной, равной радиусу, составляла естественную базовую величину. Одна шестидесятая часть этого числа, используя их стандартные шестидесятеричные деления, была градусом.
Аристарх Самосский и Гиппарх, кажется, были одними из первых греческих ученых, систематически использовавших вавилонские астрономические знания и методы. [10] [11] Тимохарис , Аристарх, Аристилль , Архимед и Гиппарх были первыми известными греками, разделившими круг на 360 градусов по 60 угловых минут . [12] Эратосфен использовал более простую шестидесятеричную систему, разделив круг на 60 частей. [ необходима цитата ]
Разделение круга на 360 частей также произошло в древней Индии , о чем свидетельствует Ригведа : [13]
Двенадцать спиц, одно колесо, три пупка.
Кто может это понять?
На нем размещено
триста шестьдесят подобных колышков.
Они нисколько не дрожат.- Диргатамас , Ригведа 1.164.48
Еще одна мотивация для выбора числа 360 , возможно, было то, что она легко делится : 360 имеет 24 делителей , [примечание 1] делает его одним из всего лишь 7 чисел таким образом, что не число меньше , чем в два раза больше имеет больше делителей (последовательность A072938 в OEIS ). [14] [15] Кроме того, оно делится на все числа от 1 до 10, кроме 7. [примечание 2] Это свойство имеет много полезных применений, таких как деление мира на 24 часовых пояса , каждый из которых номинально составляет 15 ° от долгота , чтобы соответствовать установленному условию 24-часового дня .
Наконец, может случиться так, что в игру вступило несколько из этих факторов. Согласно этой теории, это число составляет приблизительно 365 из-за видимого движения Солнца относительно небесной сферы, и что оно было округлено до 360 по некоторым математическим причинам, приведенным выше.
Подразделения
Для многих практических целей градус - это достаточно маленький угол, при котором целые градусы обеспечивают достаточную точность. Когда это не так, как в астрономии или для географических координат ( широта и долгота ), градусы могут быть записаны с использованием десятичных градусов , с символом градуса после десятичных знаков; например, 40,1875 °.
В качестве альтернативы можно использовать традиционные шестидесятеричные единицы . Один градус делится на 60 минут (дуговых) , а одна минута - на 60 секунд (дуговых) . Использование градусов-минут-секунд также называется обозначением DMS. Эти подразделения, также называемые угловыми минутами и угловыми секундами , соответственно представлены одинарным штрихом (') и двойным штрихом (″). [4] Например, 40,1875 ° = 40 ° 11 '15 ″ или, используя символы кавычек , 40 ° 11' 15 дюймов . Дополнительная точность может быть обеспечена с использованием десятичных знаков для компонента угловых секунд.
Морские карты помечены в градусах и десятичных минутах для облегчения измерения; 1 минута широты равна 1 морской миле . В приведенном выше примере будет указано 40 ° 11,25 '(обычно записывается как 11'25 или 11',25). [16]
Старая система третей , четвертей и т. Д., Которая продолжает подразделение шестидесятеричных единиц, использовалась аль-Каши [ необходима цитата ] и другими древними астрономами, но сегодня используется редко. Эти подразделения обозначались римской цифрой для числа шестидесятых в верхнем индексе: 1 I для « простого » (угловая минута), 1 II для секунды , 1 III для третьего , 1 IV для четвертого и т. Д. [17] Следовательно, современные символы минут и секунд дуги, а также слово «секунда» также относятся к этой системе. [18]
Альтернативные единицы
В большинстве математических работ, выходящих за рамки практической геометрии, углы обычно измеряются в радианах, а не в градусах. Это по разным причинам; например, тригонометрические функции имеют более простые и «естественные» свойства, когда их аргументы выражаются в радианах. Эти соображения перевешивают удобную делимость числа 360. Один полный оборот (360 °) равен 2 π радиан, поэтому 180 ° равно π радиан, или, что эквивалентно, градус является математической константой : 1 ° = π ⁄ 180 .
Очередь (или революция, полный круг, полный оборот, цикл) используется в технологии и науке . Один оборот равен 360 °.
С изобретением метрической системы , основанной на степенях десяти, была предпринята попытка заменить градусы десятичными «градусами» [примечание 3], называемыми град или гон , где число в прямом угле равно 100 углам с 400 углами. по полному кругу (1 ° = 10 ⁄ 9 гон). Хотя Наполеон отказался от этой идеи, оценки продолжали использоваться в нескольких областях, и многие научные калькуляторы поддерживают их. Дециграды ( 1 / 4000 ) были использованы с французской артиллерии зрелищ вмировой войне
Тысячный , который наиболее часто используемый в военных целях, имеют по крайней мере три варианта конкретных, начиная от 1 / 6,400 до 1 ⁄ 6000 . Это примерно равно одному миллирадиану ( ок.1 ⁄ 6 283 ). Миллиметровое измерение 1 ⁄ 6000 революции произошли в Российской императорской армии , где равносторонняя хорда была разделена на десятые, чтобы получить круг из 600 единиц. Это можно увидеть на облицовочном самолете (раннее устройство для прицеливания с закрытых огневых позиций), датируемом примерно 1900 годом в Санкт-Петербургском музее артиллерии.
Повороты | Радианы | Градусы | Градианы , или угоны |
---|---|---|---|
0 | 0 | 0 ° | 0 г |
1/24 | π/12 | 15 ° | 16+2/3грамм |
1/16 | π/8 | 22,5 ° | 25 г |
1/12 | π/6 | 30 ° | 33+1/3грамм |
1/10 | π/5 | 36 ° | 40 г |
1/8 | π/4 | 45 ° | 50 г |
1/2 π | 1 | c. 57,3 ° | c. 63,7 г |
1/6 | π/3 | 60 ° | 66+2/3грамм |
1/5 | 2 π/5 | 72 ° | 80 г |
1/4 | π/2 | 90 ° | 100 г |
1/3 | 2 π/3 | 120 ° | 133+1/3грамм |
2/5 | 4 π/5 | 144 ° | 160 г |
1/2 | π | 180 ° | 200 г |
3/4 | 3 π/2 | 270 ° | 300 г |
1 | 2 π | 360 ° | 400 г |
Смотрите также
- Компас
- Степень кривизны
- Географическая система координат
- Градиан
- Дуга меридиана
- Квадратный градус
- Квадратная минута
- Квадратная секунда
- Стерадиан
Заметки
- ^ Делители 360 равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 и 360.
- ^ Сравните это с относительно громоздким 2520 , которое является наименее распространенным кратным для каждого числа от 1 до 10.
- ^ Эти новые и десятичные "градусы" не следует путать с десятичными градусами .
Рекомендации
- ^ Серия HP 48G - Руководство пользователя (8-е изд.). Hewlett-Packard . Декабрь 1994 [1993]. HP 00048-90126, (00048-90104) . Проверено 6 сентября 2015 года .
- ^ Руководство пользователя графического калькулятора HP 50g (1-е изд.). Hewlett-Packard . 1 апреля 2006 г. HP F2229AA-90006 . Проверено 10 октября 2015 года .
- ^ Руководство пользователя графического калькулятора HP Prime (UG) (PDF) (1-е изд.). Компания Hewlett-Packard Development, LP, октябрь 2014 г. HP 788996-001. Архивировано из оригинала (PDF) на 3 сентября 2014 года . Проверено 13 октября 2015 года .
- ^ а б «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 1 марта 2020 . Проверено 31 августа 2020 года .
- ^ а б Вайсштейн, Эрик В. «Степень» . mathworld.wolfram.com . Проверено 31 августа 2020 года .
- ^ Bureau International des poids et mesures , Международная система единиц (SI) / Международная система единиц (SI) , 9-е изд. (Севр: 2019), ISBN 978‑92‑822‑2272‑0 Ошибка параметра в {{ ISBN }}: недопустимый ISBN . , c. 4. С. 145–146.
- ^ Евклид (2008). «Книга 4». Элементы геометрии Евклида [ Euclidis Elementa, editit et Latine interpatus est IL Heiberg, in aedibus BG Teubneri 1883–1885 ]. Перевод Хейберга, Йохана Людвига ; Фитцпатрик, Ричард (2 - е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-6151-7984-1. [1]
- ^ Джинсы, Джеймс Хопвуд (1947). Рост физической науки . Издательство Кембриджского университета (CUP). п. 7 .
- ^ Мурнаган, Фрэнсис Доминик (1946). Аналитическая геометрия . п. 2.
- ^ Роулинз, Деннис. «Об Аристархе» . DIO - Международный журнал научной истории .
- ^ Тумер, Джеральд Джеймс . Гиппарх и вавилонская астрономия .
- ^ «2 (сноска 24)» (PDF) . Aristarchos Unbound: Ancient Vision / Колоссальный масштаб Вселенной эллинистических гелиоцентристов / Колоссальная инверсия великих и фальшивых древних историками / История астрономии и Луна в ретроградном движении! . DIO - Международный журнал научной истории . 14 . Март 2008. с. 19. ISSN 1041-5440 . Проверено 16 октября 2015 года .
- ^ Диргатамас . Ригведа . п. 1.164.48.
- ^ Брефельд, Вернер. «Teilbarkeit hochzusammengesetzter Zahlen» [Делимость очень составных чисел] (на немецком языке).
- ^ Брефельд, Вернер (2015). (неизвестно) . Rowohlt Verlag . Cite использует общий заголовок ( справка )
- ^ Хопкинсон, Сара (2012). Справочник шкипера RYA Day - sail . Хамбл: Королевская яхтенная ассоциация . п. 76. ISBN 9781-9051-04949.
- ^ Аль-Бируни (1879 г.) [1000]. Хронология древних народов . Перевод Сахау, К. Эдвард. С. 147–149.
- ^ Флегг, Грэм Х. (1989). Числа сквозь века . Международное высшее образование Macmillan . С. 156–157. ISBN 1-34920177-4.
Внешние ссылки
- «Градусы как угловая мера» ., с интерактивной анимацией
- Грей, Меган; Меррифилд, Майкл; Мориарти, Филипп (2009). «° градус угла» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .