В математике понятие делителя первоначально возникло в контексте арифметики целых чисел. С развитием абстрактных колец , из которых целых чисел являются архетипом , оригинальное понятие делителя нашло естественное продолжение.
Делимость - полезное понятие для анализа структуры коммутативных колец из-за ее связи с идеальной структурой таких колец.
Определение
Пусть R некоторое кольцо, [1] , и пусть и б быть элементами R . Если существует элемент х в R с топором = Ь , то говорят , что является левым делителем из Ь и Ь является правой несколькими из . [2] Кроме того , если существует элемент у в R с уа = Ь , то говорят , что является правым делителем из Ь и Ь является левым кратным из . Говорят, что a является двусторонним делителем числа b, если оно одновременно является левым делителем и правым делителем числа b ; х и у выше, не должны быть одинаковыми.
Когда R является коммутативным, понятие левого делителя, правого делителя и двухсторонних делители совпадают, так что один просто говорит , что является делителем из Ь , или что б является кратным из , и одна записи. Элементы a и b области целостности являются ассоциированными, если оба а также . Связанное отношение является отношением эквивалентности на R , поэтому оно делит R на непересекающиеся классы эквивалентности .
Примечание: хотя эти определения имеют смысл в любой магме , они используются в основном, когда эта магма является мультипликативным моноидом кольца.
Характеристики
Утверждения о делимости в коммутативном кольце можно перевести в утверждения об основных идеалах . Например,
- Надо если и только если .
- Элементы a и b являются ассоциированными тогда и только тогда, когда.
- Элемент U представляет собой блок , если и только если у является делителем каждого элемента R .
- Элемент u является единицей тогда и только тогда, когда.
- Если для некоторой единицы u , то a и b ассоциаты. Если R - область целостности , то верно обратное.
- Пусть R - область целостности. Если элементы в R полностью упорядочены по делимости, то R называется оценочным кольцом .
В приведенном выше описании обозначает главный идеал генерируется элементом .
Ноль как делитель и делители нуля
- Некоторые авторы требуют, чтобы a было ненулевым в определении делителя, но это приводит к сбою некоторых из приведенных выше свойств.
- Если интерпретировать определение делителя буквально, каждое a является делителем 0, так как можно взять x = 0 . Из-за этого традиционно злоупотребляют терминологией, делая исключение для делителей нуля: элемент a в коммутативном кольце называется делителем нуля, если существует ненулевой x такой, что ax = 0 . [3]
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Бурбаки, Н. (1989) [1970], Алгебра I, главы 1–3 , Springer-Verlag , ISBN 9783540642435
Эта статья включает материал из статьи Citizendium « Делимость (теория кольца) », которая находится под лицензией Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License, но не GFDL .