Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Двойной пузырь. Обратите внимание, что поверхность, отделяющая маленький нижний пузырек от большого пузыря, вздувается в большой пузырек.

В математической теории минимальных поверхностей гипотеза о двойном пузыре утверждает, что форма, которая охватывает и разделяет два заданных объема и имеет минимально возможную площадь поверхности, является стандартным двойным пузырем : три сферические поверхности, встречающиеся под углами 2 π / 3 на общем круг. Теперь это теорема , доказательство которой было опубликовано в 2002 году. [1] [2]

Гипотеза [ править ]

Согласно законам Плато , минимальная форма площади, которая охватывает любой объем или набор объемов, должна принимать форму, обычно наблюдаемую в мыльных пузырях, в которых поверхности постоянной средней кривизны сходятся в тройках, образуя двугранные углы 2 π / 3. [3] В стандартном двойном пузыре эти поверхности представляют собой участки сфер., а кривая, где они встречаются, представляет собой круг. Когда два замкнутых объема отличаются друг от друга, имеется три сферических поверхности, две на внешней стороне двойного пузыря и одна внутри, отделяющие два объема друг от друга; Радиусы сфер обратно пропорциональны разнице давлений между разделяемыми ими объемами, согласно уравнению Юнга – Лапласа . [4] Когда два объема равны, средняя поверхность представляет собой плоский диск , который можно интерпретировать как участок сферы бесконечного радиуса.

Гипотеза о двойном пузыре утверждает, что для любых двух объемов стандартный двойной пузырек имеет форму минимальной площади, которая их окружает; никакой другой набор поверхностей не охватывает такое же пространство с меньшей общей площадью.

То же самое верно и для набора кривых минимальной длины на евклидовой плоскости, который охватывает заданную пару областей [5], и его можно обобщить на любое более высокое измерение. [6]

История [ править ]

Изопериметрическое неравенство для трех измерений утверждает , что форма ограждающих минимальный объем для одного его площади поверхности является сфера; он был сформулирован Архимедом, но не был строго доказан до XIX века Германом Шварцем . В 19 веке Джозеф Плато изучал двойной пузырь, и истинность гипотезы о двойном пузыре была предположена без доказательства CV Boys в его книге 1896 года о мыльных пузырях. [7] [8]

В 1991 году Джоэл Фуази, студент колледжа Уильямс , возглавил группу студентов, которые доказали двумерный аналог гипотезы о двойном пузыре. [5] [7] В своей дипломной работе Фуази первым дал точное изложение гипотезы о трехмерном двойном пузыре, но не смог ее доказать. [9]

Доказательство ограниченного случая гипотезы о двойном пузыре для двух равных объемов было объявлено Джоэлом Хассом и Роджером Шлафли в 1995 году и опубликовано в 2000 году. [10] [11] Доказательство полной гипотезы Хатчингса , Моргана , Риторе и Рос было объявлено в 2000 г. и опубликовано в 2002 г. [1] [9] [12]

Доказательство [ править ]

Лемма Брайана Уайта показывает, что двойной пузырь минимальной площади должен быть поверхностью вращения . В противном случае можно было бы найти две ортогональные плоскости, которые делят оба объема пополам, заменить поверхности в двух из четырех квадрантов отражениями поверхностей в других квадрантах, а затем сгладить сингулярности в плоскостях отражения, уменьшив Общая площадь. [7] Основываясь на этой лемме, Майкл Хатчингс смог ограничить возможные формы нестандартных оптимальных двойных пузырьков, чтобы они состояли из слоев тороидальных трубок. [13]

Кроме того, Хатчингс показал, что количество тороидов в нестандартном, но минимизирующем двойном пузыре может быть ограничено функцией двух объемов. В частности, для двух равных объемов единственный возможный нестандартный двойной пузырь состоит из одного центрального пузырька с одним тороидом вокруг его экватора. Основываясь на этом упрощении проблемы, Джоэл Хасс и Роджер Шлафли смогли свести доказательство этого случая гипотезы о двойном пузыре до большого компьютерного анализа случая, занявшего 20 минут на ПК 1995 года. [7] [11]

Окончательное доказательство гипотезы о полном двойном пузыре также использует метод Хатчингса для сведения проблемы к анализу конечного случая, но он избегает использования компьютерных вычислений и вместо этого работает, показывая, что все возможные нестандартные двойные пузыри нестабильны: они могут быть нестабильными. возмущены сколь угодно малыми суммами, чтобы получить другое решение с меньшими затратами. Возмущения, необходимые для доказательства этого результата, представляют собой тщательно подобранный набор поворотов. [7]

Связанные проблемы [ править ]

Джон М. Салливан была высказана гипотеза , что для любого размера D , минимальный корпус до д  + 1 тома имеет форму стереографической проекции в виде простого . [14] В частности, в этом случае все границы между пузырями были бы участками сфер. Частный случай этой гипотезы для трех пузырьков в двух измерениях был доказан; в этом случае три пузыря образованы шестью дугами окружности и отрезками прямых, встречающихся в том же комбинаторном образце, что и ребра тетраэдра . [15]Однако численные эксперименты показали, что для шести или более объемов в трех измерениях некоторые границы между пузырьками могут быть несферическими. [14]

Для бесконечного числа равных площадей на плоскости набор кривых минимальной длины, разделяющих эти области, представляет собой шестиугольную мозаику , знакомую по ее использованию пчелами для формирования сот , и ее оптимальность ( гипотеза о сотах ) была доказана Т.С. Хейлзом в работе 2001. [16] Для той же проблемы в трех измерениях оптимальное решение неизвестно; Лорд Кельвин предположил, что он был задан структурой, комбинаторно эквивалентной усеченным кубическим сотам , но это предположение было опровергнуто открытием структуры Вира – Фелана., разделение пространства на ячейки равного объема двух разных форм с использованием меньшей средней площади поверхности на ячейку. [17]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Хатчингс, Майкл ; Морган, Фрэнк ; Риторе, Мануэль; Рос, Антонио (2002), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 155 (2): 459–489, arXiv : math / 0406017 , doi : 10.2307 / 3062123 , JSTOR  3062123 , MR  1906593.
  2. ^ Морган, Франк (2009), «Глава 14. Доказательство гипотезы о двойном пузыре», Геометрическая теория меры: Руководство для начинающих (4-е изд.), Academic Press CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  3. ^ Тейлор, Джин Э. (1976), «Структура особенностей в минимальных поверхностях, подобных мыльному пузырю и мыльной пленке», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 103 (3): 489–539, doi : 10.2307 / 1970949 , JSTOR 1970949 , MR 0428181   CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  4. ^ Айзенберг, Кирилл (1978), «Глава 5. Лапласа уравнение Юнга», Наука мыльных пленок и мыльные пузыри , Dover CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  5. ^ а б Альфаро, М .; Brock, J .; Foisy, J .; Hodges, N .; Зимба, J. (1993), "Стандарт двойной мыльный пузырь в R 2 однозначно сводит к минимуму периметр" , Тихоокеанский журнал математики , 159 (1): 47-59, DOI : 10,2140 / pjm.1993.159.47 , MR 1211384 .
  6. ↑ Reichardt, Ben W. (2008), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре в R n », Journal of Geometric Analysis , 18 (1): 172–191, arXiv : 0705.1601 , doi : 10.1007 / s12220-007-9002- у , MR 2365672 .
  7. ^ a b c d e Морган, Франк (2004), «Доказательство гипотезы о двойном пузыре», в Hardt, Robert (ed.), Six Themes on Variation , Student Mathematical Library, 26 , American Mathematical Society, pp. 59– 77, DOI : 10,1090 / stml / 026/04 , ЛВП : 10481/32449 , МР 2108996  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ). Пересмотренный вариант статьи , первоначально появляющейся в Американском математическом Monthly (2001), DOI : 10,2307 / 2695380 , MR 1834699 .
  8. ^ Мальчики, CV (1896), Мыльные пузыри и силы, которые их формируют , Общество содействия христианскому знанию CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  9. ^ a b «Репутация надувания пузыря: четыре математика только что решили давнюю загадку, поставленную мыльной водой, - пишет Кейт Девлин» , The Guardian , 22 марта 2000 г..
  10. ^ Петерсон Иварс (12 августа 1995), "Тяготы и проблемы более двойных пузырей" (PDF) , Science News , 148 (7): 101-102, DOI : 10,2307 / 3979333 , JSTOR 3979333   CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  11. ^ а б Хасс, Джоэл ; Шлафли, Роджер (2000), «Двойные пузыри минимизируют», Annals of Mathematics , 2nd Ser., 151 (2): 459–515, arXiv : math / 0003157 , Bibcode : 2000math ...... 3157H , doi : 10.2307 / 121042 , JSTOR 121042 , Руководство по ремонту 1765704  . Ранее было объявлено в электронных научных Объявления Американского математического общества , 1995, DOI : 10.1090 / S1079-6762-95-03001-0 .
  12. ^ CIPRA, Барри А. (17 марта 2000), "Математика: Почему двойной Пузыри форма как они это делают" , Science , 287 (5460): 1910-1912, DOI : 10.1126 / science.287.5460.1910a
  13. ^ Хатчинс, Майкл (1997), "Структура зонально сведение к минимуму двойных пузырьков", журнал геометрического анализа , 7 (2): 285-304, DOI : 10.1007 / BF02921724 , МР 1646776  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  14. ^ a b Салливан, Джон М. (1999), «Геометрия пузырей и пен», в Садоке, Жан-Франсуа; Ривье, Николас (ред.), Пены и эмульсии: Proc. Институт перспективных исследований НАТО. о пенах и эмульсиях, эмульсиях и ячеистых материалах, Каржез, Корсика, 12–24 мая 1997 г. , NATO Adv. Sci. Inst. Сер. E Прил. Sci., 354 , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Pp. 379–402, MR 1688327.  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  15. ^ Wichiramala, Wacharin (2004), "Доказательство плоской тройной пузырь гипотезы", Журнал für умереть Reine унд Angewandte Mathematik , 2004 (567): 1-49, DOI : 10,1515 / crll.2004.011 , MR 2038304 .
  16. ^ Хейлза, Томас К. (2001), "Соты гипотеза", Дискретные и Вычислительная геометрия , 25 (1): 1-22, Arxiv : math.MG/9906042 , DOI : 10.1007 / s004540010071 , МР 1797293  CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  17. ^ Weaire, Денис ; Фелан, Роберт (1994), "Контрпример к гипотезе Кельвина о минимальных поверхностях", Philosophical Magazine Letters , 69 (2): 107–110, Bibcode : 1994PMagL..69..107W , doi : 10.1080 / 09500839408241577.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Двойной пузырь» . MathWorld .