В математике , А двойное абелево многообразие может быть определенно из абелева многообразия А , определенный над полем K .
Определение
Абелеву многообразию A над полем k ставится в соответствие дуальное абелево многообразие A v (над тем же полем), что является решением следующей проблемы модулей . Семейство линейных расслоений степени 0, параметризованных k -многообразием T , определяется как линейное расслоение L на A × T такое, что
- для всех , ограничение L на A × { t } является линейным расслоением степени 0,
- ограничение L на {0} × T является тривиальным линейным расслоением (здесь 0 - это тождество A ).
Тогда существует многообразие A v и линейное расслоение, [ требуется пояснение ] , называемое расслоением Пуанкаре, которое является семейством линейных расслоений степени 0, параметризованных A v в смысле приведенного выше определения. Более того, это семейство универсально, то есть любому семейству L, параметризованному T , соответствует единственный морфизм f : T → A v, так что L изоморфен обратному образу P по морфизму 1 A × f : A × T → A × A v . Применяя это к случаю, когда T является точкой, мы видим, что точки A v соответствуют линейным расслоениям степени 0 на A , поэтому существует естественная групповая операция на A v, заданная тензорным произведением линейных расслоений, что делает его в абелеву разновидность.
На языке представимых функторов полученный результат можно сформулировать следующим образом. Контравариантный функтор, который сопоставляет каждому k -многообразию T множество семейств линейных расслоений степени 0, параметризованных T, и каждому k -морфизму f : T → T ' отображение, индуцированное обратным вызовом с f , является представимым. Универсальным элементом, представляющим этот функтор, является пара ( A v , P ).
Эта ассоциация является двойственностью в том смысле, что существует естественный изоморфизм между двойными двойственными A vv и A (определенный через расслоение Пуанкаре) и что он является контравариантным функториальным , т.е. он сопоставляет всем морфизмам f : A → B двойственные морфизмы f v : B v → A v совместимым образом. П -кручение абелево многообразие и п -кручение сопряженного является два друг к другу , когда п взаимно просто с характеристикой основания. В общем - для всех п - в п кручение групповые схемы двойственных абелевых многообразий Картье двойственные друг друга. Это обобщает спаривание Вейля для эллиптических кривых.
История
Впервые теория получила хорошую форму, когда K было полем комплексных чисел . В этом случае существует общая форма двойственности между многообразием Альбанеза о наличии полного многообразия V и его многообразии Пикара ; это было реализовано для определений в терминах комплексных торов , как только Андре Вейль дал общее определение многообразия Альбанезе. Для абелевого многообразия A многообразие Альбанезе само является A , поэтому двойственным должно быть Pic 0 ( A ), связная компонента того, что в современной терминологии называется схемой Пикара .
Для случая якобиевой многообразии J в виде компактного римановой поверхности C , выбор в основной поляризации от J приводит к появлению идентификации J со своим собственным разнообразием Picard. В некотором смысле это просто следствие теоремы Абеля . Для общих абелевых многообразий, все еще над комплексными числами, A находится в том же классе изогении, что и двойственное ему. Явная изогения может быть построена с помощью обратимого пучка L на A (т. Е. В данном случае голоморфного линейного расслоения ), когда подгруппа
- К ( L )
преобразований на L , переводящих L в изоморфную копию, само по себе конечно. В этом случае частное
- A / K ( L )
изоморфно двойственному абелеву многообразию Â .
Эта конструкция Â распространяется на любое поле K от нулевой характеристики . [1] В терминах этого определения расслоение Пуанкаре , универсальное линейное расслоение может быть определено на
- A × Â .
Конструкция, когда K имеет характеристику p, использует теорию схем . Определение K ( L ) должно быть дано в терминах групповой схемы, которая является теоретико-схемным стабилизатором , и взятый фактор теперь является фактором по схеме подгрупп. [2]
Двойная изогения (случай эллиптической кривой)
Учитывая изогению
из эллиптических кривых степени, дуальная изогения есть изогения
такой же степени, что
Здесь обозначает умножение на- изогения который имеет степень
Построение дуальной изогении
Часто требуется только наличие двойственной изогении, но ее можно явно указать как композицию
где - группа дивизоров степени 0. Для этого нам понадобятся отображения дано где нейтральная точка а также дано
Чтобы увидеть это , обратите внимание, что исходная изогения можно записать как составную
и что с тех пор является конечной степени, умножение на на
В качестве альтернативы мы можем использовать меньшую группу Пикарда , частное от Карта спускается к изоморфизму , Двойственная изогения
Отметим, что соотношение также следует сопряженное соотношение Действительно, пусть потом Но является сюръективным , поэтому мы должны иметь
Расслоение Пуанкаре
Произведение абелевого многообразия и двойственного к нему имеет каноническое линейное расслоение, называемое линейным расслоением Пуанкаре . [3] Соответствующую высоту для многообразий, определенных над числовыми полями, иногда называют высотой Пуанкаре .
Заметки
- ^ Mumford, абелевый Сорт , pp.74-80
- ↑ Мамфорд, Абелевы многообразия , стр.123 и далее
- ^ Мукаи, Сигэру (2003). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования в области высшей математики. 81 . Перевод WM Oxbury. Издательство Кембриджского университета . С. 400, 412–413. ISBN 0-521-80906-1. Zbl 1033.14008 .
Рекомендации
- Мамфорд, Дэвид (1985). Абелевы многообразия (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-560528-0.
Эта статья включает материал из Dual isogeny на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .