В математике , то отображение Абеля-Якоби является построение алгебраической геометрии , которая относится к алгебраической кривой к ее якобиева многообразия . В римановой геометрии это более общая конструкция, отображающая многообразие на его тор Якоби. Название происходит от теоремы о Абеля и Якоби , что два эффективных делители являются линейно эквивалентны тогда и только тогда , когда они неразличимы при отображении Абеля-Якоби.
Построение карты
В сложной алгебраической геометрии якобиан кривой C строится с использованием интегрирования по путям. А именно, предположим, что C имеет род g , что топологически означает, что
Геометрически эта группа гомологий состоит из (классов гомологии) циклов в C , или, другими словами, замкнутых петель. Таким образом, мы можем выбрать 2 петли gгенерируя это. С другой стороны, еще один, более алгебро-геометрический способ сказать, что род C есть g, состоит в том, что
где K является каноническим расслоением на С .
По определению, это пространство глобально определенных голоморфных дифференциальных форм на C , поэтому мы можем выбрать g линейно независимых форм. Учитывая формы и замкнутые циклы, мы можем интегрировать, и мы определяем 2 g векторов
Из билинейных соотношений Римана следует, чтопорождают невырожденную решетку (то есть они реальная основа для ), а якобиан определяется формулой
Тогда отображение Абеля – Якоби определяется следующим образом. Выбираем какую-то базовую точку и, почти имитируя определение определить карту
Хотя это, по-видимому, зависит от пути от к любые два таких пути определяют замкнутый цикл в и, следовательно, элемент поэтому интеграция над ним дает элемент Таким образом, разница стирается при переходе к частному на . Изменение базовой точки действительно меняет карту, но только путем перевода тора.
Отображение Абеля – Якоби риманова многообразия
Позволять - гладкое компактное многообразие . Позволятьбыть его основной группой. Позволять- его карта абелианизации . Позволять - торсионная подгруппа группы . Позволять- фактор по кручению. Если это поверхность, неканонически изоморфен , где это род; в более общем смысле, неканонически изоморфен , где это первое число Бетти. Позволять - составной гомоморфизм.
Определение. Крышка коллектора соответствующая подгруппе называется универсальным (или максимальным) свободным абелевым накрытием.
Теперь предположим, что M имеет риманову метрику . Позволять - пространство гармонических 1-форм на , с двойным канонически отождествляется с . Путем интегрирования интегральной гармонической 1-формы вдоль путей от базовой точки, мы получаем отображение на окружность .
Аналогично, чтобы определить карту не выбирая базиса для когомологий, рассуждаем следующим образом. Позволятьбыть точкой в универсальной обложке из . Таким образом представлен точкой вместе с тропой из к нему. Интегрируя по пути, получаем линейную форму на :
Это дает карту
который, кроме того, спускается на карту
где универсальное бесплатное абелево покрытие.
Определение. Многообразие Якоби (тор Якоби) это тор
Определение. Отображение Абеля-Якоби
получается из карты выше переходом к факторам.
Отображение Абеля – Якоби единственно с точностью до сдвигов тора Якоби. Карта имеет приложения в систолической геометрии . Отображение Абеля – Якоби риманова многообразия проявляется в асимптотике теплового ядра на периодическом многообразии при больших временах (Kotani & Sunada (2000) и Sunada (2012) ).
Во многом таким же образом можно определить теоретико-графовый аналог отображения Абеля – Якоби как кусочно-линейное отображение конечного графа в плоский тор (или граф Кэли, связанный с конечной абелевой группой), которое тесно связано к асимптотическому поведению случайных блужданий по кристаллической решетке и может быть использован для проектирования кристаллических структур.
Теорема Абеля – Якоби
Следующая теорема была доказана Абелем: предположим, что
является делителем (имеется в виду формальная целочисленная линейная комбинация точек C ). Мы можем определить
и поэтому говорят о значении отображения Абеля – Якоби на дивизорах. Теорема состоит в том, что если D и E - два эффективных дивизора, это означает, что все положительные целые числа, то
- если и только если является линейно эквивалентны для Отсюда следует, что отображение Абеля-Якоби индуцирует инъективное отображение (абелевых групп) из пространства классов дивизоров нулевой степени в якобиан.
Якоби доказал, что это отображение также сюръективно, поэтому две группы естественно изоморфны.
Из теоремы Абеля – Якоби следует, что многообразие Альбанезе компактной комплексной кривой (двойственное голоморфным 1-формам по модулю периодов) изоморфно ее якобиевому многообразию (дивизорам степени 0 по модулю эквивалентности). Для компактных проективных многообразий более высокой размерности многообразие Альбанезе и многообразие Пикара двойственны, но не обязательно изоморфны.
Рекомендации
- Э. Арбарелло; М. Корнальба; П. Гриффитс; Дж. Харрис (1985). «1.3, Теорема Абеля ». Геометрия алгебраических кривых. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90997-4.
- Котани, Мотоко; Сунада, Тошиказу (2000), "Карты Альбанезе и внедиагональная долгая асимптотика теплового ядра", Comm. Математика. Phys. , 209 : 633-670, Bibcode : 2000CMaPh.209..633K , DOI : 10.1007 / s002200050033
- Сунада, Тошиказу (2012), «Лекция по топологической кристаллографии», Япония. J. Math. , 7 : 1-39, DOI : 10.1007 / s11537-012-1144-4