В математике , то спаривание Вейля является спаривание ( билинейная формой , хотя и с мультипликативной записью ) на точках порядка деление п о с эллиптическими кривыми Е , принимая значения в п - е корни из единицы . В более общем смысле существует аналогичное спаривание Вейля между точками порядка n абелевого многообразия и его двойственного. Он был введен Андре Вейлем ( 1940 ) для якобианов кривых, который дал абстрактное алгебраическое определение; соответствующие результаты для эллиптических функцийбыли известны и могут быть просто выражены с помощью сигма-функции Вейерштрасса .
Формулировка
Выберите эллиптическую кривую E, определенную над полем K , и целое число n > 0 (мы требуем, чтобы n было взаимно простым с char ( K ), если char ( K )> 0), так что K содержит примитивный корень n-й степени из единицы . Тогда n -кручение накак известно, является декартовым произведением двух циклических групп порядка n . Спаривание Вейля дает корень n-й степени из единицы
с помощью теории Куммера для любых двух точек, где а также .
Простое построение пары Вейля выглядит следующим образом. Выберем функцию F в поле функции из Е над алгебраическим замыканием в К с делителем
Таким образом, F имеет простой нуль в каждой точке P + kQ и простой полюс в каждой точке kQ, если все эти точки различны. Тогда F корректно определено с точностью до умножения на константу. Если G является сдвигом F на Q , то по построению G имеет тот же дивизор, поэтому функция G / F постоянна.
Следовательно, если мы определим
у нас будет корень n -й степени из единицы (поскольку перевод n раз должен дать 1), отличный от 1. С помощью этого определения можно показать, что w является альтернированным и билинейным [1], что приводит к невырожденному спариванию на n -кручение.
Спаривание Вейля не распространяется на спаривание на всех точках кручения (прямой предел n- точек кручения ), потому что спаривания для разных n не совпадают. Однако они подходят вместе, чтобы дать спаривание T ℓ ( E ) × T ℓ ( E ) → T ℓ (μ) на модуле Тейта T ℓ ( E ) эллиптической кривой E (обратный предел the n -кручения точек) в модуль Тейта T ℓ (μ) мультипликативной группы (обратный предел для ℓ n корней из единицы).
Обобщение на абелевы многообразия
Для абелевых многообразий над алгебраически замкнутым полем K спаривание Вейля является невырожденным спариванием
для всех п взаимно простой с характеристикой K . [2] Здесьобозначает двойную абелево многообразие из A . Это так называемая пара Вейля для высших измерений. Если A оснащен поляризацией
- ,
то композиция дает (возможно, вырожденное) спаривание
Если С является проективной, неособым кривым родом ≥ 0 над к , и J ее якобиан , то тета-делитель из J индуцирует основную поляризацию J , который в данном конкретном случае , случается, изоморфизм (см autoduality якобианов ) . Следовательно, составление спаривания Вейля для J с поляризацией дает невырожденное спаривание
для всех n, простых с характеристикой k .
Как и в случае эллиптических кривых, явные формулы для этого спаривания может быть дано в терминах делителей из C .
Приложения
Спаривание используется в теории чисел и алгебраической геометрии , а также в криптографии на основе эллиптических кривых и шифровании на основе идентичности .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Сильверман, Джозеф (1986). Арифметика эллиптических кривых . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4.
- ^ Джеймс Милн , Абелевы разновидности , доступно на www.jmilne.org/math/
- Вейль, Андре (1940), «Sur les fonctions algébriques à corps de constantes fini», Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences , 210 : 592–594, MR 0002863