Динамическая система

Аттрактор Лоренца возникает в изучении Лоренц осциллятора , динамической системы.

В математике , А динамическая система представляет собой систему , в которой функция описывает временную зависимость в точку в геометрическом пространстве . Примеры включают математические модели, которые описывают качание маятника часов , поток воды в трубе и количество рыб каждую весну в озере .

В любой момент времени, динамическая система имеет состояние , данное в кортеже из действительных чисел (а вектор ) , который может быть представлены точкой в соответствующем пространстве состояний (геометрическое многообразие ). Правило эволюции динамической системы является функцией , которая описывает то , что будущие состояния следует из текущего состояния. Часто функция является детерминированной , то есть для заданного временного интервала только одно будущее состояние следует из текущего состояния. ^{[1] [2]} Однако некоторые системы являются стохастическими в том смысле , что случайные события также влияют на эволюцию переменных состояния.

В физике , А динамическая система описывается как «частица или совокупность частиц, состояние изменяется с течением времени и , таким образом , подчиняется дифференциальные уравнения с производной по времени». ^[3] Чтобы сделать прогноз о будущем поведении системы, реализуется аналитическое решение таких уравнений или их интегрирование во времени посредством компьютерного моделирования.

Изучение динамических систем находится в центре внимания теории динамических систем , которая имеет приложения к широкому кругу областей, таких как математика, физика, ^{[4] [5]} биология , ^[6] химия , инженерия , ^[7] экономика , ^{[8] ]} история и медицина . Динамические системы являются фундаментальной частью теории хаоса , динамики логистических карт , теории бифуркаций , процессов самосборки и самоорганизации , а также концепции края хаоса .

Обзор [ править ]

Концепция динамической системы берет свое начало в механике Ньютона . Здесь, как и в других естественных и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамических систем является неявным отношением, которое дает состояние системы только на короткое время в будущем. (Соотношение является либо дифференциальное уравнение , разностное уравнение или другой временной масштаб .) Для того, чтобы определить состояние для всех времен будущих требует итерируя соотношение много раз, каждый раз , опережения небольшой шаг. Итерационная процедура называется решением системы или интегрированием системы.. Если система может быть решена, по заданной начальной точке можно определить все ее будущие положения, набор точек, известный как траектория или орбита .

До появления компьютеров нахождение орбиты требовало сложных математических методов и могло быть выполнено только для небольшого класса динамических систем. Численные методы, реализованные на электронных вычислительных машинах, упростили задачу определения орбит динамической системы.

Для простых динамических систем знания траектории часто бывает достаточно, но большинство динамических систем слишком сложны, чтобы их можно было понять в терминах отдельных траекторий. Сложности возникают из-за того, что:

• Изучаемые системы могут быть известны только приблизительно - параметры системы могут быть неизвестны точно или члены могут отсутствовать в уравнениях. Используемые приближения ставят под сомнение достоверность или актуальность численных решений. Чтобы ответить на эти вопросы, при изучении динамических систем было введено несколько понятий устойчивости, таких как устойчивость по Ляпунову или структурная устойчивость . Устойчивость динамической системы подразумевает, что существует класс моделей или начальных условий, для которых траектории были бы эквивалентными. Операция сравнения орбит для установления их эквивалентности изменяется в зависимости от различных понятий устойчивости.
• Тип траектории может быть важнее одной конкретной траектории. Некоторые траектории могут быть периодическими, тогда как другие могут блуждать через множество различных состояний системы. Приложения часто требуют перечисления этих классов или поддержки системы в пределах одного класса. Классификация всех возможных траекторий привела к качественному изучению динамических систем, то есть свойств, не изменяющихся при изменении координат. Линейные динамические системы и системы, у которых есть два числа, описывающих состояние, являются примерами динамических систем, в которых понимаются возможные классы орбит.
• Поведение траекторий как функция параметра может быть тем, что требуется для приложения. При изменении параметра динамические системы могут иметь точки бифуркации, в которых качественное поведение динамической системы изменяется. Например, он может перейти от периодических движений к явно неустойчивому поведению, как при переходе к турбулентности жидкости .
• Траектории системы могут казаться беспорядочными, как будто случайными. В этих случаях может потребоваться вычисление средних значений с использованием одной очень длинной траектории или нескольких различных траекторий. Средние значения хорошо определены для эргодических систем, и более подробное понимание было разработано для гиперболических систем . Понимание вероятностных аспектов динамических систем помогло установить основы статистической механики и хаоса .

История [ править ]

Многие считают французского математика Анри Пуанкаре основателем динамических систем. ^[9] Пуанкаре опубликовал две теперь классические монографии: «Новые методы небесной механики» (1892–1899) и «Лекции по небесной механике» (1905–1910). В них он успешно применил результаты своих исследований к проблеме движения трех тел и подробно изучил поведение решений (частота, устойчивость, асимптотика и т. Д.). Эти статьи включали теорему Пуанкаре о возвращении , которая гласит, что некоторые системы через достаточно долгое, но конечное время вернутся в состояние, очень близкое к начальному.

Александр Ляпунов разработал много важных методов аппроксимации. Его методы, разработанные им в 1899 г., позволяют определять устойчивость систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Он создал современную теорию устойчивости динамической системы.

В 1913 году Джордж Дэвид Биркгоф доказал « Последнюю геометрическую теорему » Пуанкаре , частный случай задачи трех тел , результат, который сделал его всемирно известным. В 1927 году он опубликовал свои « Динамические системы» . Самым надежным результатом Биркгофа было открытие им в 1931 году того, что сейчас называется эргодической теоремой . Сочетание идеи из физики на эргодической гипотезе с теорией меры , эта теорема решена, по крайней мере , в принципе, фундаментальная проблема статистической механики . Эргодическая теорема также повлияла на динамику.

Стивен Смейл также добился значительных успехов. Его первым вкладом была подкова Смейла , положившая начало значительным исследованиям динамических систем. Он также обрисовал в общих чертах исследовательскую программу, выполняемую многими другими.

Александр Николаевич Шарковский разработал теорему Шарковского о периодах дискретных динамических систем в 1964 году. Одно из следствий теоремы состоит в том, что если дискретная динамическая система на вещественной прямой имеет периодическую точку с периодом 3, то она должна иметь периодические точки любого другой период.

В конце 20 века палестинский инженер-механик Али Х. Найфех применил нелинейную динамику в механических и инженерных системах. ^[10] Его новаторская работа в прикладной нелинейной динамике оказала влияние на строительство и обслуживание машин и конструкций, которые являются обычными в повседневной жизни, таких как корабли , краны , мосты , здания , небоскребы , реактивные двигатели , ракетные двигатели , самолеты и космические корабли. .^[11]

Основные определения [ править ]

Динамическая система - это многообразие M, называемое фазовым пространством (или пространством состояний), наделенное семейством гладких эволюционных функций Φ ^t, которые для любого элемента t ∈ T , времени, отображают точку фазового пространства обратно в фазовое пространство. Понятие гладкости меняется в зависимости от приложений и типа многообразия. Есть несколько вариантов для множества  T . Когда T принимается за действительные числа, динамическая система называется потоком ; и если T ограничено неотрицательными действительными числами, то динамическая система является полупотоком . Когда T берется за целые числа, этокаскад или карта ; и ограничение на неотрицательные целые числа является полукаскадом .

Примечание: Существует еще техническое состояние , что Φ ^т является действием Т на М . Это включает в себя тот факт, что Φ ⁰ является тождественной функцией и что Φ ^{s + t} является композицией Φ ^s и Φ ^t . Это моноидное действие , которое не требует наличия отрицательных значений для t и не требует, чтобы функции Φ ^t были обратимыми.

Примеры [ править ]

Функция эволюции Φ ^t часто является решением дифференциального уравнения движения 

${\displaystyle {\dot {x}}=v(x).}$

Уравнение дает производную по времени, представленную точкой, траектории x ( t ) на фазовом пространстве, начинающейся в некоторой точке  x ₀ . Векторное поле V ( х ) является гладкой функцией , что в каждой точке фазового пространства М обеспечивает вектор скорости динамической системы в этой точке. (Эти векторы являются векторами не в фазовом пространстве  M , а в касательном пространстве T _x M точки  x .) Для гладкого Φ ^t из него может быть получено автономное векторное поле. 

Нет необходимости ни в производных более высокого порядка в уравнении, ни во временной зависимости v ( x ), потому что их можно устранить, рассматривая системы более высоких измерений. Для определения правила эволюции можно использовать другие типы дифференциальных уравнений :

${\displaystyle G(x,{\dot {x}})=0}$

представляет собой пример уравнения, возникающего при моделировании механических систем со сложными ограничениями.

Дифференциальные уравнения, определяющие функцию эволюции Φ ^t , часто являются обыкновенными дифференциальными уравнениями ; в этом случае фазовое пространство M - конечномерное многообразие. Многие концепции динамических систем можно распространить на бесконечномерные многообразия - те, которые являются локально банаховыми пространствами, - и в этом случае дифференциальные уравнения являются уравнениями в частных производных . В конце 20-го века динамическая системная перспектива уравнений в частных производных начала набирать популярность. 

Дальнейшие примеры [ править ]

Линейные динамические системы [ править ]

Линейные динамические системы могут быть решены в терминах простых функций и классификации поведения всех орбит. В линейной системе фазовое пространство - это N -мерное евклидово пространство, поэтому любую точку в фазовом пространстве можно представить вектором с N числами. Анализ линейных систем возможен, потому что они удовлетворяют принципу суперпозиции : если u ( t ) и w ( t ) удовлетворяют дифференциальному уравнению для векторного поля (но не обязательно начальному условию), то также будет u ( t ) +  w ( т ).

Потоки [ править ]

Для потока векторное поле v ( x ) является аффинной функцией положения в фазовом пространстве, то есть

${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$

где A - матрица, b - вектор чисел, а x - вектор положения. Решение этой системы можно найти, используя принцип суперпозиции (линейности). Случай b  ≠ 0 с A  = 0 - это просто прямая линия в направлении  b :

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$

Когда b равно нулю и A  ≠ 0, начало координат является точкой равновесия (или особой) точки потока, то есть, если x ₀  = 0, то орбита остается там. Для других начальных условий уравнение движения задается экспонентой матрицы : для начальной точки x ₀ ,

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$

При б = 0, то собственные значения из A определяют структуру фазового пространства. Из собственных значений и собственных векторов из А можно определить , если начальная точка будет сходятся или расходятся до точки равновесия в начале координат.

Расстояние между двумя различными начальными условиями в случае A  ≠ 0 в большинстве случаев будет изменяться экспоненциально, либо экспоненциально быстро приближаясь к точке, либо экспоненциально быстро расходясь. Линейные системы демонстрируют чувствительную зависимость от начальных условий в случае расхождения. Для нелинейных систем это одно из (необходимых, но не достаточных) условий хаотического поведения .

Карты [ править ]

С дискретным временем , аффинная динамическая система имеет форму разностного уравнения матрицы :

${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}+b,}$

с матрицей A и вектором b . Как и в непрерывном случае, изменение координат x  →  x  + (1 -  A )  ^–1 b удаляет член b из уравнения. В новой системе координат начало координат является фиксированной точкой карты, а решения относятся к линейной системе A ⁿ x ₀ . Решения для карты больше не кривые, а точки, прыгающие в фазовом пространстве. Орбиты организованы в кривые или волокна, которые представляют собой наборы точек, которые отображаются сами в себя под действием карты. 

Как и в непрерывном случае, собственные значения и собственные векторы матрицы A определяют структуру фазового пространства. Например, если u ₁ является собственным вектором матрицы A с действительным собственным значением, меньшим единицы, то прямые, заданные точками вдоль α  u ₁ , при α  ∈  R , являются инвариантной кривой карты. Точки на этой прямой переходят в фиксированную точку.

Есть также много других дискретных динамических систем .

Локальная динамика [ править ]

Качественные свойства динамических систем не меняются при плавной смене координат (иногда это принимают за определение качественных): особая точка векторного поля (точка, где  v ( x ) = 0) останется особой точкой при плавных преобразованиях; периодическая орбитапредставляет собой петлю в фазовом пространстве, и плавные деформации фазового пространства не могут изменить ее как петлю. Именно в окрестности особых точек и периодических орбит можно хорошо понять структуру фазового пространства динамической системы. При качественном исследовании динамических систем подход состоит в том, чтобы показать, что есть изменение координат (обычно неуказанное, но вычислимое), которое делает динамическую систему настолько простой, насколько это возможно.

Исправление [ править ]

Поток в большинстве небольших участков фазового пространства можно сделать очень простым. Если y - точка, в которой векторное поле v ( y ) ≠ 0, то происходит изменение координат для области вокруг y, где векторное поле становится серией параллельных векторов одинаковой величины. Это известно как теорема исправления.

Теорема исправления гласит, что вдали от особых точек динамика точки на небольшом участке представляет собой прямую линию. Патч иногда можно увеличить, сшив вместе несколько патчей, и когда это работает во всем фазовом пространстве M, динамическая система является интегрируемой . В большинстве случаев патч нельзя распространить на все фазовое пространство. В векторном поле могут быть особые точки (где v ( x) = 0); или пятна могут становиться все меньше и меньше по мере приближения к какой-то точке. Более тонкая причина - это глобальное ограничение, когда траектория начинается в патче, а после посещения ряда других патчей возвращается к исходной. Если в следующий раз орбита будет обходить фазовое пространство по-другому, то исправить векторное поле во всей серии пятен будет невозможно.

Около периодических орбит [ править ]

Вообще говоря, в окрестности периодической орбиты теорема исправления неприменима. Пуанкаре разработал подход, который преобразует анализ около периодической орбиты в анализ карты. Выберите точку x ₀ на орбите γ и рассмотрите точки фазового пространства в этой окрестности, которые перпендикулярны v ( x ₀ ). Эти точки являются сечением Пуанкаре S ( γ ,  x ₀ ) орбиты. Теперь поток определяет карту Пуанкаре F  :  S  →  S для точек, начинающихся в S и возвращающихся в  S.. Не для всех этих точек потребуется одинаковое количество времени, чтобы вернуться, но это время будет близко к времени, которое требуется  x ₀ .

Пересечение периодической орбиты с секцией Пуанкаре является неподвижной точкой отображения Пуанкаре F . Путем перевода можно предположить, что точка находится в точке x  = 0. Ряд Тейлора карты равен F ( x ) =  J  ·  x  + O ( x ² ), поэтому можно ожидать , что изменение координат h только упростит F к его линейной части

${\displaystyle h^{-1}\circ F\circ h(x)=J\cdot x.}$

Это известно как уравнение сопряжения. Поиск условий выполнения этого уравнения был одной из основных задач исследования динамических систем. Пуанкаре сначала подошел к нему, предполагая, что все функции аналитические, и в процессе обнаружил условие нерезонансности. Если λ ₁ , ...,  λ _ν являются собственными значениями J, они будут резонансными, если одно собственное значение является целочисленной линейной комбинацией двух или более других. Поскольку члены формы λ _i - ∑ (кратные другим собственным значениям) входят в знаменатель членов функции h , условие нерезонансности также известно как проблема малых делителей.

Результаты конъюгации [ править ]

Результаты о существовании решения уравнения сопряжения зависят от собственных значений J и требуемой степени гладкости h . Поскольку J не нуждается в каких-либо особых симметриях, его собственные значения обычно будут комплексными числами. Когда собственные значения J не находятся в единичной окружности, динамика вблизи неподвижной точки х ₀ из F называется гиперболическим и когда собственные значения на единичной окружности и комплекс, динамика называется эллиптической .

В гиперболическом случае теорема Хартмана – Гробмана дает условия существования непрерывной функции, отображающей окрестность неподвижной точки отображения в линейное отображение J  ·  x . Гиперболический случай также структурно устойчив . Небольшие изменения в векторном поле будут производить только небольшие изменения в отображении Пуанкаре, и эти небольшие изменения будут отражаться в небольших изменениях положения собственных значений J в комплексной плоскости, подразумевая, что карта все еще является гиперболической.

Теорема Колмогорова – Арнольда – Мозера (КАМ) дает поведение вблизи эллиптической точки.

Теория бифуркации [ править ]

Когда карта эволюции Φ ^t (или векторное поле, из которого она получена) зависит от параметра μ, структура фазового пространства также будет зависеть от этого параметра. Небольшие изменения могут не вызывать качественных изменений фазового пространства до тех пор, пока не будет достигнуто особое значение μ ₀ . В этот момент фазовое пространство качественно меняется, и говорят, что динамическая система претерпела бифуркацию.

Теория бифуркаций рассматривает структуру в фазовом пространстве (обычно неподвижную точку , периодическую орбиту или инвариантный тор ) и изучает ее поведение как функцию параметра  μ . В точке бифуркации структура может изменить свою устойчивость, разделиться на новые структуры или слиться с другими структурами. Используя аппроксимацию карт рядами Тейлора и понимание различий, которые могут быть устранены путем изменения координат, можно каталогизировать бифуркации динамических систем.

Бифуркации гиперболической неподвижной точки x ₀ семейства систем F _μ могут быть охарактеризованы собственными значениями первой производной системы DF _μ ( x ₀ ), вычисленными в точке бифуркации. Для карты бифуркация произойдет, когда на единичной окружности есть собственные значения DF _μ . Для потока это произойдет, когда на мнимой оси есть собственные значения. Для получения дополнительной информации см. Основную статью по теории бифуркаций .

Некоторые бифуркации могут привести к очень сложным структурам в фазовом пространстве. Например, сценарий Рюэля – Такенса описывает, как периодическая орбита раздваивается на тор, а тор - на странный аттрактор . В другом примере удвоение периода по Фейгенбауму описывает, как устойчивая периодическая орбита проходит через серию бифуркаций удвоения периода .

Эргодические системы [ править ]

Во многих динамических системах можно выбрать координаты системы так, чтобы объем (на самом деле ν-мерный объем) в фазовом пространстве был инвариантным. Это происходит с механическими системами, выведенными из законов Ньютона, если координатами являются положение и импульс, а объем измеряется в единицах (положение) × (импульс). Поток переводит точки подмножества A в точки Φ ^t ( A ), и инвариантность фазового пространства означает, что 

${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$

В гамильтоновом формализме по заданной координате можно получить соответствующий (обобщенный) импульс, такой, что связанный объем сохраняется потоком. Говорят, что объем вычисляется по мере Лиувилля .

В гамильтоновой системе не все возможные конфигурации положения и импульса могут быть достигнуты из начального условия. Из-за сохранения энергии доступны только состояния с той же энергией, что и начальное условие. Состояния с одинаковой энергией образуют энергетическую оболочку Ω, подмногообразие фазового пространства. Объем энергетической оболочки, вычисленный с использованием меры Лиувилля, сохраняется при эволюции.

Для систем, в которых объем сохраняется потоком, Пуанкаре открыл теорему о возвращении : предположим, что фазовое пространство имеет конечный объем Лиувилля, и пусть F будет отображением фазового пространства, сохраняющим объем, а A - подмножеством фазового пространства. Тогда почти каждая точка A возвращается в A бесконечно часто. Теорема Пуанкаре о возвращении использовалась Цермело, чтобы возразить против вывода Больцмана об увеличении энтропии в динамической системе сталкивающихся атомов.

Одним из вопросов, поднятых работой Больцмана, было возможное равенство между средними по времени и средними по пространству, что он назвал эргодической гипотезой . Гипотеза утверждает, что время, в течение которого типичная траектория проходит в области A, составляет объем ( A ) / объем (Ω).

Оказалось, что эргодическая гипотеза не является важным свойством, необходимым для развития статистической механики, и ряд других эргодических свойств был введен, чтобы охватить соответствующие аспекты физических систем. Купман подошел к изучению эргодических систем с помощью функционального анализа . Наблюдаемая a - это функция, которая с каждой точкой фазового пространства связывает число (скажем, мгновенное давление или среднюю высоту). Значение наблюдаемой можно вычислить в другое время, используя функцию эволюции φ  ^t . Это вводит оператор U ^t , оператор переноса , 

${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$

Изучая спектральные свойства линейного оператора U, становится возможным классифицировать эргодические свойства оператора Φ ^t . При использовании Купмана подход с учетом действия потока на наблюдаемой функции, конечно-мерные нелинейная проблема , связанная с Ф ^т получает отображается в бесконечномерной линейную задачу с участием  U .  

Мера Лиувилля, ограниченная энергетической поверхностью Ω, является основой для средних значений, вычисляемых в равновесной статистической механике . Среднее по времени вдоль траектории эквивалентно среднему по пространству, вычисленному с помощью фактора Больцмана exp (−β H ) . Эта идея была обобщена Синаем, Боуэном и Рюэлем (SRB) на более широкий класс динамических систем, который включает диссипативные системы. Меры SRB заменяют фактор Больцмана и определяются на аттракторах хаотических систем.

Нелинейные динамические системы и хаос [ править ]

Простые нелинейные динамические системы и даже кусочно-линейные системы могут демонстрировать совершенно непредсказуемое поведение, которое может показаться случайным, несмотря на то, что они по своей сути детерминированы. Это, казалось бы, непредсказуемое поведение получило название хаос . Гиперболические системы - это точно определенные динамические системы, которые проявляют свойства, приписываемые хаотическим системам. В гиперболических системах касательное пространство, перпендикулярное траектории, можно хорошо разделить на две части: одну с точками, сходящимися к орбите ( устойчивое многообразие ), и другую, с точками, расходящимися с орбиты ( неустойчивое многообразие ).

Этот раздел математики занимается долгосрочным качественным поведением динамических систем. Здесь акцент делается не на поиск точных решений уравнений , определяющих динамическую систему (которая часто безнадежно), а отвечать на вопросы типа «Будет ли система осесть в устойчивое состояние в долгосрочной перспективе, и если да, то возможные аттракторы ? " или «Зависит ли долгосрочное поведение системы от ее начального состояния?»

Обратите внимание, что проблема не в хаотическом поведении сложных систем. В течение многих лет было известно, что метеорология связана со сложным - даже хаотическим - поведением. Теория хаоса была настолько удивительной, потому что хаос можно найти в почти тривиальных системах. Логистическое отображение лишь второй степени многочлен; отображение подковы является кусочно - линейным.

Геометрическое определение [ править ]

Динамическая система - это набор с многообразием (локально банаховым или евклидовым пространством), областью времени (неотрицательные действительные числа, целые числа, ...) и f правилом эволюции t  →  f ^t (с ) таким что f  ^t - диффеоморфизм многообразия в себя. Итак, f является отображением временной области в пространство диффеоморфизмов многообразия в себя. Другими словами, f ( t ) является диффеоморфизмом для каждого момента времени t в области .${\displaystyle \langle {\mathcal {M}},f,{\mathcal {T}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Измерьте теоретическое определение [ править ]

Формально динамическую систему можно определить как сохраняющее меру преобразование сигма-алгебры , четверку ( X , Σ, μ, τ). Здесь X - множество , а Σ - сигма-алгебра на X , так что пара ( X , Σ) - измеримое пространство. μ - конечная мера на сигма-алгебре, так что тройка ( X , Σ, μ) является вероятностным пространством . Отображение τ: X → X называется Σ-измеримым тогда и только тогда, когда для любого σ ∈ Σ оно имеет . Говорят, что отображение τ сохраняет меру${\displaystyle \tau ^{-1}\sigma \in \Sigma }$тогда и только тогда, когда для каждого σ ∈ Σ имеет место . Объединяя вышесказанное, отображение τ называется сохраняющим меру преобразованием X , если оно является отображением X в себя, оно Σ-измеримо и сохраняет меру. Четверка ( X , Σ, μ, τ) для такого τ определяется как динамическая система .${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

Карта τ воплощает эволюцию динамической системы во времени. Таким образом, для дискретных динамических систем изучаются итерации для целого n . Для непрерывных динамических систем отображение τ понимается как отображение эволюции за конечное время, и конструкция более сложна.${\displaystyle \tau ^{n}=\tau \circ \tau \circ \cdots \circ \tau }$

Многомерное обобщение [ править ]

Динамические системы определяются одной независимой переменной, обычно считающейся временем. Более общий класс систем определяется над несколькими независимыми переменными и поэтому называется многомерными системами . Такие системы полезны для моделирования, например, обработки изображений .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

External links[edit]

Wikimedia Commons has media related to Dynamical systems.

• Arxiv preprint server has daily submissions of (non-refereed) manuscripts in dynamical systems.
• Encyclopedia of dynamical systems A part of Scholarpedia — peer reviewed and written by invited experts.
• Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
• Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (Sept 2003) provides definitions, explanations and resources related to nonlinear science

Online books or lecture notes

• Geometrical theory of dynamical systems. Nils Berglund's lecture notes for a course at ETH at the advanced undergraduate level.
• Dynamical systems. George D. Birkhoff's 1927 book already takes a modern approach to dynamical systems.
• Chaos: classical and quantum. An introduction to dynamical systems from the periodic orbit point of view.
• Learning Dynamical Systems. Tutorial on learning dynamical systems.
• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Lecture notes by Gerald Teschl

Research groups

• Dynamical Systems Group Groningen, IWI, University of Groningen.
• Chaos @ UMD. Concentrates on the applications of dynamical systems.
• [1], SUNY Stony Brook. Lists of conferences, researchers, and some open problems.
• Center for Dynamics and Geometry, Penn State.
• Control and Dynamical Systems, Caltech.
• Laboratory of Nonlinear Systems, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL).
• Center for Dynamical Systems, University of Bremen
• Systems Analysis, Modelling and Prediction Group, University of Oxford
• Non-Linear Dynamics Group, Instituto Superior Técnico, Technical University of Lisbon
• Dynamical Systems, IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada.
• Nonlinear Dynamics Workgroup, Institute of Computer Science, Czech Academy of Sciences.
• UPC Dynamical Systems Group Barcelona, Polytechnical University of Catalonia.
• Center for Control, Dynamical Systems, and Computation, University of California, Santa Barbara.