Уравнение Экхауза

В математической физике , то уравнение Eckhaus - или уравнение Кунду-Eckhaus - это нелинейные уравнения в частных производных в пределах нелинейного Шредингера класса: ^[1]

${\ Displaystyle я \ psi _ {t} + \ psi _ {xx} +2 \ left (| \ psi | ^ {2} \ right) _ {x} \, \ psi + | \ psi | ^ {4} \, \ psi = 0.}$

Уравнение было независимо введено Виктором Экхаусом и Анжаном Кунду для моделирования распространения волн в диспергирующих средах . ^{[2] [3]}

Линеаризация [ править ]

Анимация волнового пакета решения уравнения Экхауза. Синяя линия - действительная часть решения, красная линия - мнимая часть, а черная линия - огибающая волны ( абсолютное значение ). Обратите внимание на асимметрию огибающей для уравнения Экхауза, в то время как огибающая - соответствующего решения линейного уравнения Шредингера - симметрична (in ). Короткие волны в пакете распространяются быстрее, чем длинные.${\ displaystyle | \ psi (x, t) |}$${\ Displaystyle | \ varphi (х, т) |}$${\ displaystyle x}$

Анимация волнового пакета решения линейного уравнения Шредингера - соответствующая приведенной выше анимации для уравнения Экхауза. Синяя линия - действительная часть решения, красная линия - мнимая часть , черная линия - огибающая волны ( абсолютное значение ), а зеленая линия - центр тяжести огибающей волнового пакета.

Уравнение Экхауза можно линеаризовать до линейного уравнения Шредингера : ^[4]

${\ displaystyle i \ varphi _ {t} + \ varphi _ {xx} = 0,}$

через нелинейное преобразование: ^[5]

${\ displaystyle \ varphi (x, t) = \ psi (x, t) \, \ exp \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {x} | \ psi (x ^ {\ prime}, t) | ^ {2} \; {\ text {d}} x ^ {\ prime} \ right).}$

Обратное преобразование:

${\ displaystyle \ psi (x, t) = {\ frac {\ varphi (x, t)} {\ displaystyle \ left (1 + 2 \, \ int _ {- \ infty} ^ {x} | \ varphi ( x ^ {\ prime}, t) | ^ {2} \; {\ text {d}} x ^ {\ prime} \ right) ^ {1/2}}}.}.$

Эта линеаризация также означает, что уравнение Экхауза интегрируемо .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Ablowitz, MJ ; Аренс, CD; Де Лилло, С. (2005), "О" квази "интегрируемом дискретном уравнении Экхауза", Журнал нелинейной математической физики , 12 (Приложение 1): 1–12, Bibcode : 2005JNMP ... 12S ... 1A , doi : 10.2991 / jnmp.2005.12.s1.1
• Калоджеро, Ф .; Де Лилло, С. (1987), «УЧП Экхауза i ψ _t + ψ _xx + 2 (| ψ | ² ) _x ψ + | ψ | ⁴ ψ = 0», Обратные задачи , 3 (4): 633–682 , Bibcode : 1987InvPr ... 3..633C , DOI : 10,1088 / 0266-5611 / 3/4/ 012
• Экхаус, В. (1985), Поведение в течение длительного времени для возмущенных волновых уравнений и родственные проблемы , Отдел математики, Утрехтский университет, Препринт № 404.
  Опубликовано частично в: Eckhaus, W. (1986), "Долгое время для возмущенных волновых уравнений и связанных проблем", в Kröner, E .; Kirchgässner, К. (ред.), Тенденции в приложениях чистой математики к механике , Lecture Notes в физике, 249 , Berlin: Springer., С. 168-194, DOI : 10.1007 / BFb0016391 , ISBN 978-3-540-16467-8
• Кунду, А. (1984), "Калибровка нелинейных систем Ландау – Лифшица и высшего порядка, порожденная из нелинейных уравнений типа Шредингера", Journal of Mathematical Physics , 25 : 3433–3438, Bibcode : 1984JMP .... 25.3433K , doi : 10.1063 / 1.526113
• Taghizadeh, N .; Мирзазаде, М .; Tascan, Ф. (2012), "Первый интегральный метод применяется к уравнению Экхауза", Прикладная Математика Письма , 25 (5): 798-802, DOI : 10.1016 / j.aml.2011.10.021
• Цвиллинджер, Д. (1998), Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.), Academic Press, ISBN 978 0 12 784396 4