Электрическая потенциальная энергия - это потенциальная энергия (измеряемая в джоулях ), которая возникает в результате консервативных кулоновских сил и связана с конфигурацией определенного набора точечных зарядов в определенной системе . Объект может иметь электрический потенциал энергии в силу двух основных элементов: свой собственный электрический заряд и его положение относительно других электрически заряженных объектов .
Электрическая потенциальная энергия | |
---|---|
Общие символы | U E |
Единица СИ | джоуль (Дж) |
Производные от других величин | U Е = С · V 2 /2 |
Термин «электрическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с изменяющимися во времени электрическими полями , в то время как термин «электростатическая потенциальная энергия» используется для описания потенциальной энергии в системах с постоянными во времени электрическими полями.
Определение
Электрическая потенциальная энергия системы точечных зарядов определяется как работа, необходимая для сборки этой системы зарядов путем их сближения, как в системе с бесконечного расстояния. В качестве альтернативы, электрическая потенциальная энергия любого данного заряда или системы зарядов называется полной работой, совершаемой внешним агентом по переносу заряда или системы зарядов из бесконечности в текущую конфигурацию без какого-либо ускорения.
- Электростатическая потенциальная энергия, U Е , одного точечного заряда Q в положении г в присутствии электрического поля Е определяется как отрицательной части работы Вт сделано с помощью электростатической силы , чтобы привести его из исходного положения г исх [примечание 1 ] в эту позицию r . [1] [2] : §25–1
,
- где E - электростатическое поле, а d r ' - вектор смещения на кривой от исходного положения r ref до конечного положения r .
Электростатическая потенциальная энергия также может быть определена из электрического потенциала следующим образом:
- Электростатическая потенциальная энергия U E точечного заряда q в позиции r при наличии электрического потенциала определяется как произведение заряда и электрического потенциала.
,
- где - электрический потенциал, создаваемый зарядами, который является функцией положения r .
Единицы измерения
СИ единица электрического потенциала энергии джоуль (назван в честь английского физика Джеймса Прескотта Джоуля ). В системе СГС эрг является единицей энергии, равна 10 -7 джоулей. Также можно использовать электронвольт , 1 эВ = 1,602 × 10 -19 Джоулей.
Электростатическая потенциальная энергия одного точечного заряда
Один точечный заряд q при наличии другого точечного заряда Q
Электростатическая потенциальная энергия U E одного точечного заряда q в позиции r в присутствии точечного заряда Q , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:
,
где - постоянная Кулона , r - расстояние между точечными зарядами q & Q , а q & Q - заряды (а не абсолютные значения зарядов, т. е. электрон будет иметь отрицательное значение заряда, если поместить его в формулу). Следующий план доказательства устанавливает вывод от определения электрической потенциальной энергии и закона Кулона к этой формуле.
Схема доказательства Электростатическая сила F, действующая на заряд q, может быть записана через электрическое поле E как
- ,
По определению, изменение электростатической потенциальной энергии U E точечного заряда q , который переместился из исходного положения r ref в положение r в присутствии электрического поля E, является отрицательным значением работы, выполняемой электростатической силой для переместите его из исходной позиции r ref в эту позицию r .
- .
где:
- r = положение заряда q в трехмерном пространстве , используя декартовы координаты r = ( x , y , z ), принимая положение заряда Q при r = (0,0,0), скаляр r = | г | - норма вектора положения,
- d s = вектор дифференциального смещения вдоль пути C от r ref до r ,
- - это работа, совершаемая электростатической силой по перемещению заряда из исходного положения r ref в r ,
Обычно U E устанавливается в ноль, когда r ref равно бесконечности:
так
Когда ротор ∇ × E равен нулю, линейный интеграл выше не зависит от конкретного выбранного пути C, а только от его конечных точек. Это происходит в постоянных во времени электрических полях. Когда говорят об электростатической потенциальной энергии, всегда предполагаются постоянные во времени электрические поля, поэтому в этом случае электрическое поле является консервативным и можно использовать закон Кулона.
Используя закон Кулона , известно , что электростатическая сила Р и электрическое поле Е создается с помощью дискретного точечного заряда Q радиально направлены от Q . По определению вектора положения г и вектора смещения х , то отсюда следует , что р и ы также радиально направлены от Q . Итак, E и d s должны быть параллельны:
Используя закон Кулона, электрическое поле определяется выражением
а интеграл легко вычисляется:
Один точечный заряд q при наличии n точечных зарядов Q i
Электростатическая потенциальная энергия U E одного точечного заряда q в присутствии n точечных зарядов Q i , принимая бесконечное расстояние между зарядами в качестве исходного положения, равна:
,
где - постоянная Кулона , r i - расстояние между точечными зарядами q и Q i , а q и Q i - приписанные значения зарядов.
Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе точечных зарядов
Электростатическая потенциальная энергия U E, запасенная в системе из N зарядов q 1 , q 2 , ..., q N в положениях r 1 , r 2 , ..., r N соответственно, составляет:
, |
| ( 1 ) |
где для каждого значения i Φ ( r i ) - это электростатический потенциал, связанный со всеми точечными зарядами, кроме одного в r i , [примечание 2], и равен:
,
где r ij - расстояние между q j и q i .
Схема доказательства Электростатическая потенциальная энергия U E, запасенная в системе двух зарядов, равна электростатической потенциальной энергии одного заряда в электростатическом потенциале, генерируемом другим. То есть, если заряд q 1 создает электростатический потенциал Φ 1 , который является функцией положения r , то
Проделав такой же расчет относительно другого заряда, получим
Электростатическая потенциальная энергия распределяется между а также , поэтому общая запасенная энергия равна
Это можно обобщить, чтобы сказать, что электростатическая потенциальная энергия U E, запасенная в системе из N зарядов q 1 , q 2 , ..., q N в положениях r 1 , r 2 , ..., r N соответственно, составляет:
.
Энергия, хранящаяся в системе точечного заряда
Электростатическая потенциальная энергия системы, содержащей только один точечный заряд, равна нулю, поскольку нет других источников электростатической силы, против которых внешний агент должен работать по перемещению точечного заряда из бесконечности в его конечное местоположение.
Часто возникает вопрос о взаимодействии точечного заряда с собственным электростатическим потенциалом. Поскольку это взаимодействие не приводит к перемещению точечного заряда как такового, оно не влияет на запасенную в системе энергию.
Энергия хранится в системе двух точечных зарядов
Рассмотрим приведение точечного заряда q в его конечное положение рядом с точечным зарядом Q 1 . Электростатический потенциал Φ ( r ), обусловленный Q 1, равен
Следовательно, мы получаем электрическую потенциальную энергию q в потенциале Q 1 как
где r 1 - расстояние между двумя точечными зарядами.
Энергия хранится в системе трехточечных зарядов
Электростатическую потенциальную энергию системы из трех зарядов не следует путать с электростатической потенциальной энергией Q 1 из-за двух зарядов Q 2 и Q 3 , потому что последний не включает электростатическую потенциальную энергию системы из двух зарядов. Q 2 и Q 3 .
Электростатическая потенциальная энергия, запасенная в системе из трех зарядов, равна:
Схема доказательства Используя формулу, приведенную в ( 1 ), тогда электростатическая потенциальная энергия системы трех зарядов будет:
Где - электрический потенциал в r 1, создаваемый зарядами Q 2 и Q 3 ,- электрический потенциал в r 2, создаваемый зарядами Q 1 и Q 3 , и- электрический потенциал в r 3, создаваемый зарядами Q 1 и Q 2 . Возможные варианты:
Где r ab - расстояние между зарядами Q a и Q b .
Если все сложить:
В итоге получаем, что потенциальная электростатическая энергия хранится в системе трех зарядов:
Энергия, накопленная в распределении электростатического поля
Плотность энергии или энергия на единицу объема, , электростатического поля непрерывного распределения заряда составляет:
Схема доказательства Можно взять уравнение для электростатической потенциальной энергии непрерывного распределения заряда и выразить его в терминах электростатического поля .
Поскольку закон Гаусса для электростатического поля в дифференциальной форме состояния
где
- вектор электрического поля
- полная плотность заряда, включая дипольные заряды, связанные в материале
- является диэлектрической проницаемостью свободного пространства ,
тогда,
Итак, теперь используем следующее тождество вектора дивергенции
у нас есть
используя теорему о расходимости и считая площадь бесконечно удаленной, где
Итак, плотность энергии или энергия на единицу объема от электростатического поля является:
Энергия хранится в электронных элементах
Некоторые элементы в цепи могут преобразовывать энергию из одной формы в другую. Например, резистор преобразует электрическую энергию в тепло. Это известно как эффект Джоуля . Конденсатор сохраняет его в электрическом поле. Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в конденсаторе, определяется выражением
где C - емкость , V - разность электрических потенциалов , Q - заряд, накопленный в конденсаторе.
Схема доказательства Можно заряжать конденсатор бесконечно малыми приращениями, , так что объем работы, проделанной для сборки каждого приращения в его окончательное положение, может быть выражен как
Тогда общая работа, проделанная для полной зарядки конденсатора таким образом, равна
где - общий заряд конденсатора. Эта работа сохраняется как электростатическая потенциальная энергия, следовательно,
Примечательно, что это выражение действительно только в том случае, если , что справедливо для многозарядных систем, таких как большие конденсаторы с металлическими электродами. Для систем с малым количеством зарядов важен дискретный характер заряда. Полная энергия, запасенная в малозарядном конденсаторе, равна
который получается методом сборки заряда с использованием наименьшего приращения физического заряда где является элементарной единицей заряда и где - общее количество зарядов в конденсаторе.
Полная электростатическая потенциальная энергия также может быть выражена через электрическое поле в виде
где представляет собой поле электрического смещения внутри диэлектрического материала, а интегрирование осуществляется по всему объему диэлектрика.
Полная электростатическая потенциальная энергия, запасенная в заряженном диэлектрике, также может быть выражена через непрерывный объемный заряд, ,
где интегрирование ведется по всему объему диэлектрика.
Эти два последних выражения действительны только для случаев, когда наименьшее приращение заряда равно нулю (), такие как диэлектрики в присутствии металлических электродов или диэлектрики, содержащие много зарядов.
Заметки
- ^ За эталонный нуль обычно понимается состояние, в котором отдельные точечные заряды очень хорошо разделены («находятся в бесконечном разделении») и покоятся.
- ^ Коэффициент в половину учитывает «двойной счет» пар зарядов. Например, рассмотрим случай всего двух обвинений.
Рекомендации
- ^ Электромагнетизм (2-е издание), IS Grant, WR Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
- ^ Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл (1997). "Электрический потенциал". Основы физики (5-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-10559-7.
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с потенциальной электрической энергией на Викискладе?