В математике элементарное доказательство — это математическое доказательство , в котором используются только базовые методы. Более конкретно, этот термин используется в теории чисел для обозначения доказательств, в которых не используется комплексный анализ . Исторически когда-то считалось, что некоторые теоремы , такие как теорема о простых числах , могут быть доказаны только с помощью «высших» математических теорем или методов. Однако с течением времени многие из этих результатов были впоследствии опровергнуты с использованием только элементарных методов.
Хотя обычно нет единого мнения относительно того, что считать элементарным, этот термин, тем не менее, является распространенной частью математического жаргона . Элементарное доказательство не обязательно является простым в том смысле, что оно легко для понимания или тривиально. На самом деле некоторые элементарные доказательства могут быть весьма сложными — и это особенно верно, когда речь идет о утверждениях особой важности. [1]
Различие между элементарными и неэлементарными доказательствами считалось особенно важным в отношении теоремы о простых числах . Эта теорема была впервые доказана в 1896 году Жаком Адамаром и Шарлем Жаном де ла Валле-Пуссеном с использованием комплексного анализа. [2] Многие математики тогда пытались построить элементарные доказательства теоремы, но безуспешно. Г.Х. Харди выразил серьезные сомнения; он считал, что существенная « глубина » результата исключает элементарные доказательства:
Никакого элементарного доказательства теоремы о простых числах неизвестно, и можно задаться вопросом, разумно ли его ожидать. Теперь мы знаем, что эта теорема примерно эквивалентна теореме об аналитической функции , теореме о том, что дзета-функция Римана не имеет корней на определенной прямой . Доказательство такой теоремы, принципиально не зависящее от теории функций, кажется мне чрезвычайно маловероятным. Было бы опрометчиво утверждать, что математическая теорема не может быть доказана определенным способом; но одно кажется совершенно ясным. У нас есть определенные взгляды на логику теории; мы думаем, что некоторые теоремы, как мы говорим, «лежат глубоко», а другие — ближе к поверхности. Если кто-нибудь предложит элементарное доказательство теоремы о простых числах, он покажет, что эти взгляды ошибочны, что предмет не связан так, как мы предполагали, и что настало время отбросить книги и заняться исследованием. теорию надо переписать.
Однако в 1948 году Атле Сельберг разработал новые методы, которые позволили ему и Полу Эрдешу найти элементарные доказательства теоремы о простых числах. [3]
Харви Фридман предположил : «Каждая теорема, опубликованная в «Анналах математики» , формулировка которой включает только финитарные математические объекты (т. е. то, что логики называют арифметическим утверждением), может быть доказана с помощью элементарной арифметики». [4] Форма элементарной арифметики, упомянутая в этой гипотезе, может быть формализована с помощью небольшого набора аксиом , касающихся целочисленной арифметики и математической индукции . Например, согласно этой гипотезе, Великая теорема Ферма должна иметь элементарное доказательство; Доказательство Уайлсом Великой теоремы Ферма не является элементарным. Однако есть и другие простые утверждения об арифметике, такие как существование повторяющихся показательных функций, которые не могут быть доказаны в этой теории.