Ассоциированный прайм

В абстрактной алгебре , ассоциированные простой из модуля M над кольцом R представляет собой тип простого идеала из R , который возникает как аннулятора а (простой) подмодуль М . Множество связанных простых чисел обычно обозначается и иногда называют убийцей или убийца из М (слово люфта между обозначениями и тем , что связано главным является аннуляторный ). ^[1]${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M),}$

В коммутативной алгебре ассоциированные простые числа связаны с примарным разложением Ласкера – Нётер идеалов в коммутативных нётеровых кольцах . В частности, если идеал J раскладывается как конечное пересечение первичных идеалов , радикалы этих первичных идеалов являются первичными идеалами , и этот набор первичных идеалов совпадает с ^[2]. Также связан с понятием «ассоциированных простых чисел» идеала являются понятиями изолированных простых чисел и вложенных простых чисел .${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/J).}$

Определения [ править ]

Ненулевая R модуль N называется главным модулем , если аннуляторный для любого ненулевого подмодуля N» от N . Для простого модуля N , является простым идеалом в R . ^[3]${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)=\mathrm {Ann} _{R}(N')\,}$${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)\,}$

Ассоциированные простой из R модуля M является идеальной формой , где N представляет собой простое подмодуль М . В коммутативной алгебре обычное определение отличается, но эквивалентны: ^[4] , если R коммутативно, ассоциированный простой Р из М является простым идеалом формы для ненулевой элемент т из М или , что эквивалентно изоморфна подмодуль М .${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(N)\,}$${\displaystyle \mathrm {Ann} _{R}(m)\,}$${\displaystyle R/P}$

В коммутативном кольце R минимальные элементы в (относительно теоретико-множественного включения) называются изолированными простыми числами, а остальные ассоциированные простые числа (т. Е. Те, которые должным образом содержат ассоциированные простые числа) называются вложенными простыми числами .${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(M)}$

Модуль называется копримарным, если из xm  = 0 для некоторого ненулевого m  ∈  M следует x ⁿ M  = 0 для некоторого натурального числа n . Ненулевой конечно порожденный модуль M над коммутативным нётеровым кольцом является копримарным тогда и только тогда, когда с ним ассоциировано ровно одно простое число. Подмодуль N из M называется P -примарным , если это копримарное с P . Идеал I является P - первичный идеалом , если и только если${\displaystyle M/N}$${\displaystyle \operatorname {Ass} _{R}(R/I)=\{P\}}$; таким образом, понятие является обобщением первичного идеала.

Свойства [ править ]

Большинство этих свойств и утверждений дано в ( Lam 2001 ), начиная со страницы 86. harv error: no target: CITEREFLam2001 (help)

• Если M ' ⊆ M , то Если, кроме того, M' является существенным подмодулем в M , их ассоциированные простые числа совпадают.${\displaystyle \mathrm {Ass} _{R}(M')\subseteq \mathrm {Ass} _{R}(M).}$
• Даже для коммутативного локального кольца возможно, что множество ассоциированных простых чисел конечно порожденного модуля пусто. Однако в любом кольце, удовлетворяющем условию возрастающей цепочки на идеалах (например, в любом нетеровом правом или левом кольце), каждый ненулевой модуль имеет хотя бы одно ассоциированное простое число.
• Любой унифицированный модуль имеет либо ноль, либо одно ассоциированное простое число, что делает унифицированные модули примером копримарных модулей.
• Для одностороннего нётерова кольца существует сюръекция из множества классов изоморфизма неразложимых инъективных модулей на спектр. Если R - артиново кольцо , то это отображение становится биекцией.${\displaystyle \mathrm {Spec} (R).}$
• Теорема Матлиса : для коммутативного нётерова кольца R отображение классов изоморфизма неразложимых инъективных модулей в спектр является биекцией. Кроме того, полный набор представителей для этих классов задаются , где обозначает инъективный корпус и пробегает простые идеалы R .${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}})\,}$${\displaystyle E(-)\,}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}\,}$
• Для нётерового модуля М над любым кольцом, существует лишь конечное число ассоциированных простые числа из М .

Для случая коммутативных нётеровых колец см. Также Первичное разложение # Первичное разложение по ассоциированным простым числам .

Примеры [ править ]

• Если ассоциированные первичные идеалы являются идеалами и${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$${\displaystyle I=((x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})\cdot (z^{3}-w^{3}-3x^{3}))}$${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})}$${\displaystyle (z^{3}-w^{3}-3x^{3}).}$
• Если R - кольцо целых чисел, то нетривиальные свободные абелевы группы и нетривиальные абелевы группы порядка степени простого числа взаимопримарны.
• Если R является кольцом целых чисел и М конечная абелева группа, то ассоциированные простые числа из М в точности простые числа , делящие порядок М .
• Группа порядка 2 представляет собой частное от деления целых чисел Z (рассматриваемый как свободный модуль над самими собой), но связанным с ним идеал (2) не связанные с ним простым числом Z .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки, коммутативная Альгебра
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике , 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра