В математике , то экспоненциальная последовательность пучка является фундаментальной короткой точной последовательностью из пучков , используемых в сложной геометрии .
Пусть М является комплексным многообразием , и написать O M для пучка голоморфных функций на М . Пусть O M * - подпучок, состоящий из ненулевых голоморфных функций. Это оба пучка абелевых групп . Экспоненциальная функция дает пучок гомоморфизм
потому что для голоморфной функции f , exp ( f ) является ненулевой голоморфной функцией, а exp ( f + g ) = exp ( f ) exp ( g ). Его ядро есть пучок 2π я Z из локально постоянных функций на М , принимающих значения 2л в с п на целое число . Следовательно, последовательность экспоненциального пучка имеет вид
Экспоненциальное отображение здесь не всегда является сюръективным отображением на сечениях; это можно увидеть, например, когда M - проколотый диск в комплексной плоскости. Экспоненциальное отображение является сюръективным на стеблях : Учитывая росток г из голоморфной функции в точке Р таким образом, что г ( Р ) ≠ 0, можно взять логарифм от г в окрестности точки Р . Длинная точная последовательность из пучковых когомологий показывает , что мы имеем точную последовательность
для любого открытого множества U из M . Здесь H 0 означает просто сечений над U , и пучок когомологий H 1 (2π я Z | U ) является сингулярным когомологий из U .
Можно думать о H 1 (2π я Z | U ) , как связать целое число каждого цикла в U . Для каждого участка O M * соединительный гомоморфизм с H 1 (2π i Z | U ) дает номер намотки для каждой петли. Итак , поэтому этот гомоморфизм обобщенных обмоток числа и меры провал U , чтобы быть сжимаемым . Другими словами, существует потенциальное топологическое препятствие к глобальному логарифму ненулевой голоморфной функции, что всегда возможно локально .
Еще одним следствием последовательности является точность
Здесь Н 1 ( О М *) могут быть идентифицированы с группой Пикара из голоморфных линейных расслоений на M . Соединяющий гомоморфизм переводит линейное расслоение в его первый класс Черна .
Рекомендации
- Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), принципы алгебраической геометрии , библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523, см. особенно стр. 37 и стр. 139