В твердотельной геометрии грань — это плоская поверхность ( плоская область ), которая образует часть границы твердого объекта; [1] трехмерное тело, ограниченное исключительно гранями, есть многогранник .
В более технических трактовках геометрии многогранников и многогранников более высокой размерности этот термин также используется для обозначения элемента любой размерности более общего многогранника (в любом количестве измерений). [2]
В элементарной геометрии грань — это многоугольник [примечание 1] на границе многогранника . [2] [3] Другие названия многоугольной грани [куб]] — это грань куба. Иногда «лицо» также используется для обозначения двумерных особенностей 4-многогранника . В этом смысле четырехмерный тессеракт имеет 24 квадратных грани, каждая из которых разделяет две из 8 кубических ячеек.
где V — количество вершин , E — количество ребер , а F — количество граней. Это уравнение известно как формула многогранника Эйлера . Таким образом, количество граней на 2 больше, чем превышение количества ребер над количеством вершин. Например, у куба 12 ребер и 8 вершин, а значит, 6 граней.
В многомерной геометрии грани многогранника являются элементами всех измерений. [2] [4] [5] Грань размерности k называется k -гранью. Например, многоугольные грани обычного многогранника являются 2-гранями. В теории множеств набор граней многогранника включает в себя сам многогранник и пустой набор, где пустой набор для согласованности имеет «размерность» -1. Для любого n -многогранника ( n -мерного многогранника) −1 ≤ k ≤ n .
Например, в этом значении грани куба включают в себя сам куб (3-грань), его (квадратные) грани (2-грани), (линейные) ребра (1-грани), (точечные) вершины (0-грани). грани) и пустое множество. Ниже приведены грани 4 -мерного многогранника :