Заполненный набор Юля

Заполненным Жюлиа полинома является:${\ Displaystyle \ K (е)}$${\ displaystyle \ f}$

• Жюлиа и его интерьер ,
• неэкранированный набор

Формальное определение [ править ]

Заполненное множество Жюлиа многочлена определяется как множество всех точек динамической плоскости, имеющих ограниченную орбиту относительно${\ Displaystyle \ K (е)}$${\ displaystyle \ f}$${\ Displaystyle г \,}$ ${\ displaystyle \ f}$

${\ Displaystyle \ К (е) \ {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \ \ {z \ in \ mathbb {C}: f ^ {(k)} (z ) \ not \ to \ infty \ as \ k \ to \ infty \}}$
куда :

${\ displaystyle \ mathbb {C}}$это набор комплексных чисел

${\ Displaystyle \ е ^ {(к)} (г)}$это -кратно композиция из с собой = итерацию функции${\ displaystyle \ k}$${\ displaystyle f \,}$ ${\ displaystyle f \,}$

Отношение к множеству Фату [ править ]

Заполненный Жюлиа является (абсолют) комплемента в привлекательном бассейне на бесконечности .
${\ Displaystyle К (е) = \ mathbb {C} \ setminus A_ {f} (\ infty)}$

Привлекательный бассейн из бесконечности является одной из компонент множества Фата .
${\ Displaystyle A_ {F} (\ infty) = F _ {\ infty}}$

Другими словами, заполненное множество Жюлиа является дополнением неограниченной компоненты Фату :
${\ Displaystyle К (е) = F _ {\ infty} ^ {C}.}$

Связь между Джулией, заполненным множеством Джулии и привлекательным бассейном бесконечности [ править ]

В Викиучебнике есть книга на тему: Фракталы.

Множество Жюлиа является общей границей залитого в Жюлиа и привлекательный бассейн в бесконечность , где: обозначает привлекательный бассейн из бесконечности = внешний вид заполненного Жюлиа = набор точек для побега

${\ Displaystyle J (е) \, = \ partial K (f) = \ partial A_ {f} (\ infty)}$


${\ displaystyle A_ {f} (\ infty)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle A_{f}(\infty )\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{z\in \mathbb {C} :f^{(k)}(z)\to \infty \ as\ k\to \infty \}.}$

Если заполненное множество Julia не имеет внутренней части, то множество Julia совпадает с заполненным множеством Julia. Это происходит, когда все критические точки предпериодичны. Такие критические точки часто называют точками Мисюревича .${\displaystyle f}$

Позвоночник [ править ]

• 

  Кролик Юля с корешком

• 

  Базилика Юлия с корешком

Наиболее изученными полиномами, вероятно, являются те , которые часто обозначаются как , где - любое комплексное число. В этом случае позвоночник заполненного множества Жюлиа определяется как дуга между фиксированной точкой и ,${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle f_{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle S_{c}\,}$${\displaystyle \ K\,}$${\displaystyle \beta \,}$${\displaystyle -\beta \,}$

${\displaystyle S_{c}=\left[-\beta ,\beta \right]\,}$

с такими свойствами:

• позвоночник лежит внутри . ^[1] Это имеет смысл, когда он подключен и заполнен ^[2]${\displaystyle \ K\,}$${\displaystyle K\,}$
• позвоночник инвариантен при повороте на 180 градусов,
• spine - конечное топологическое дерево,
• Критическая точка всегда принадлежит позвоночнику. ^[3]${\displaystyle z_{cr}=0\,}$
• ${\displaystyle \beta \,}$-опорная точка - точка посадки внешнего луча с нулевым углом ,${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}^{K}}$
• ${\displaystyle -\beta \,}$точка посадки внешнего луча .${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1/2}^{K}}$

Алгоритмы построения позвоночника:

• Подробная версия описана А. Дуади ^[4]
• Упрощенная версия алгоритма:
  • соединить и внутри дугой,${\displaystyle -\beta \,}$${\displaystyle \beta \,}$${\displaystyle K\,}$
  • если внутренняя часть пуста, то дуга уникальна,${\displaystyle K\,}$
  • в противном случае выберите кратчайший путь, содержащий . ^[5]${\displaystyle 0}$

Кривая  :${\displaystyle R\,}$

${\displaystyle R\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ R_{1/2}\ \cup \ S_{c}\ \cup \ R_{0}\,}$

делит динамическую плоскость на две составляющие.

Изображения [ редактировать ]

• Заполненный набор Джулии для f _c , c = φ − 2 = -0,38 ..., где φ означает золотое сечение

• Залил Юля без салона = Юля комплект. Это для c = i.

• Заполненный набор Julia для c = -1 + 0,1 * i. Здесь множество Julia - это граница заполненного множества Julia.

• Кролик дуади

• Заполненный набор Джулии для c = −0,4 + 0,6i.

• Заполненный набор Джулии для c = −0,8 + 0,156i.

• Заполненный набор Julia для c = 0,285 + 0,01i.

• Заполненный набор Джулии для c = -1,476.

Имена [ править ]

• самолет ^[6]
• Кролик дуади
• Дракон
• базилика или фрактал Сан-Марко
• цветная капуста
• дендрит
• Диск Зигеля

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

1. Пайтген Хайнц-Отто, Рихтер, PH: Красота фракталов: изображения сложных динамических систем. Springer-Verlag 1986. ISBN  978-0-387-15851-8 .
2. Бодил Браннер  : Голоморфные динамические системы в комплексной плоскости. Департамент математики Технического университета Дании, MAT-Report No. 1996-42 .