В математике, и особенно сложной динамике , то побега набор из целой функции ƒ состоит из всех точек , которые имеют тенденцию к бесконечности при повторном применении в ƒ. [1] То есть комплексное число принадлежит множеству экранирования тогда и только тогда, когда последовательность, определенная сходится к бесконечности как становится большим. Убегающий набор обозначается . [1]
Например, для , начало координат принадлежит множеству экранирования, поскольку последовательность
стремится к бесконечности.
История
Итерация трансцендентных целых функций была впервые изучена Пьером Фату в 1926 г. [2] Ускользающее множество неявно встречается в его исследовании явных целых функций. а также .
Может ли экранирующий набор трансцендентальной целой функции иметь ограниченную компоненту?
Первое исследование множества убегающих для общей трансцендентной целой функции принадлежит Александру Еременко, который использовал теорию Вимана-Валирона . [3] Он предположил, что каждая связная компонента убегающего множества трансцендентной целой функции неограничена. Это стало известно как гипотеза Еременко . [1] [4] Есть много частичных результатов по этой проблеме, но по состоянию на 2013 год гипотеза все еще остается открытой.
Еременко также спросил, может ли каждая точка выхода быть соединена с бесконечностью кривой из множества выходов; Позже было показано, что это не так. В самом деле, существуют целые функции, у которых убегающие множества вообще не содержат никаких кривых. [4]
Характеристики
Известно, что следующие свойства выполняются для набора экранирования любой непостоянной и нелинейной целой функции. (Здесь нелинейность означает, что функция не имеет вида.)
- Набор экранирования содержит как минимум одну точку. [а]
- Граница отводящего множества точно множество Жюлиа . [b] В частности, escape-множество никогда не закрывается .
- Для трансцендентной целой функции экранирующее множество всегда пересекает множество Жюлиа. [c] В частности, набор экранирования открыт тогда и только тогда, когда является многочленом.
- Каждая связная компонента замыкания убегающего множества неограничена. [d]
- В убегающем множестве всегда есть хотя бы одна неограниченная связная компонента. [1]
- Ускользающее множество связно или имеет бесконечно много компонентов. [5]
- Набор подключен. [5]
Обратите внимание, что последнее утверждение не влечет за собой гипотезу Еременко. (Действительно, существуют связанные пространства, в которых удаление единственной точки рассеивания оставляет оставшееся пространство полностью отключенным.)
Примеры
Полиномы
Полином степени 2 продолжается до аналитической самостоятельной карты сферы Римана , имея супер привлекающие неподвижную точку на бесконечности. Убегающее множество - это как раз область притяжения этой неподвижной точки, и поэтому обычно ее называют ** бассейном бесконечности **. В таком случае,- открытое и связное подмножество комплексной плоскости, а множество Жюлиа является границей этого бассейна.
Например, убегающий набор комплексного квадратичного многочлена состоит в точности из дополнения к замкнутому единичному диску:
Трансцендентные целые функции
Для трансцендентных целых функций убегающий набор намного сложнее, чем для многочленов: в простейших случаях, подобных показанному на рисунке, он состоит из несчетного числа кривых, называемых волосками или лучами . В других примерах структура набора экранирования может сильно отличаться ( паутина ). [6] Как упоминалось выше, существуют примеры трансцендентных целых функций, у которых убегающее множество не содержит кривых. [4]
По определению, убегающее множество является множеством Fσδ ; то есть счетное пересечение множеств Fσ . Это не Gδ и не Fσ . [7]
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- ^ а б в г Риппон, Пенсильвания; Сталлард, G (2005). «По вопросам Фату и Еременко» . Proc. Амер. Математика. Soc . 133 (4): 1119–1126. DOI : 10,1090 / s0002-9939-04-07805-0 .
- ^ Фату, П. (1926). "Sur l'itération des fonctions transcendantes Entières" . Acta Math . 47 (4): 337–370. DOI : 10.1007 / bf02559517 .
- ^ а б в г д Еременко А (1989). «Об итерации целых функций» (PDF) . Публикации Банахского центра, Варшава, PWN . 23 : 339–345.
- ^ а б в Rottenfußer, G; Rückert, J; Ремпе, Л ; Шлейхер, Д. (2011). «Динамические лучи целых функций ограниченного типа». Аня. математики . 173 : 77–125. arXiv : 0704.3213 . DOI : 10.4007 / annals.2010.173.1.3 .
- ^ а б Риппон, П.Дж.; Сталлард, G (2011). «Границы выхода компонентов Фату». Proc. Амер. Математика. Soc . 139 (8): 2807–2820. arXiv : 1009.4450 . DOI : 10,1090 / s0002-9939-2011-10842-6 .
- ^ Сиксмит, ди-джей (2012). «Целые функции, для которых набор экранирования - это паутина». Математические труды Кембриджского философского общества . 151 (3): 551–571. arXiv : 1012.1303 . Bibcode : 2011MPCPS.151..551S . DOI : 10.1017 / S0305004111000582 .
- ^ Ремпе, Лассе (2020). «Экранирующие множества не сигма-компактны». arXiv : 2006.16946 [ math.DS ].
Внешние ссылки
- Лассе Ремпе . «Поэма на догадку Еременко» .