Окончательная звездчатость икосаэдра

Окончательная звездчатость икосаэдра
Две симметричные ортографические проекции
Группа симметрии	икосаэдр ( I h )
Тип	Звездчатый икосаэдр , 8 из 59
Символы	Дю Валь Х Веннингер : W 42
Элементы (как звездный многогранник)	F = 20, E = 90 V = 60 ( χ = −10)
Элементы (как простой многогранник)	F = 180, E = 270, V = 92 ( χ = 2)
Свойства (как звездный многогранник)	Вершинно-транзитивный , гранно-транзитивный
Звездчатая диаграмма Звездчатое ядро Выпуклый корпус Икосаэдр усеченный икосаэдр

В геометрии , то полный или Ехиднаэдр ^{[1] [2]} является внешним плеяде'ученых из икосаэдра , и является «полным» и «окончательным» , так как она включает в себя все клетках в Икосаэдре в диаграмме плеяде'ученой . То есть каждые три пересекающиеся плоскости граней ядра икосаэдра пересекаются либо в вершине этого многогранника, либо внутри него.

Этот многогранник представляет собой семнадцатую звездчатую форму икосаэдра и обозначен как индекс модели Веннингера 42 .

Как геометрическая фигура, она имеет две интерпретации, описанные ниже:

• Как неправильный звездный (самопересекающийся) многогранник с 20 идентичными самопересекающимися эннеаграмматическими гранями, 90 ребрами, 60 вершинами.
• Как простой многогранник с 180 треугольными гранями (60 равнобедренных, 120 разносторонних), 270 ребрами и 92 вершинами. Эта интерпретация полезна при построении модели многогранника .

Иоганн Кеплер исследовал звездчатые образования, образующие правильные звездные многогранники (многогранники Кеплера-Пуансо ) в 1619 году, но полный икосаэдр с неправильными гранями был впервые изучен в 1900 году Максом Брюкнером .

История [ править ]

• 1619: В Harmonices Mundi , Иоганн Кеплер впервые применил процесс плеяде'ученого, признавая небольшой звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр как правильные многогранники. ^[4]
• 1809: Луи Пуансо заново открыл многогранники Кеплера и еще два, большой икосаэдр и большой додекаэдр, в виде правильных звездных многогранников, которые теперь называются многогранниками Кеплера – Пуансо . ^[5]
• 1812: Огюстен-Луи Коши произвел дальнейшее перечисление звездных многогранников, доказав, что существует только 4 правильных звездных многогранника. ^[6]
• 1900: Макс Брюкнер расширил теорию звездчатости за пределы регулярных форм и идентифицировал десять звездчатых образов икосаэдра, включая полную звездчатость . ^[3]
• 1924: А. Х. Уиллер в 1924 году опубликовал список из 20 звездчатых форм (22 включая светоотражающие копии), включая также полную звездчатую форму . ^[7]
• 1938: В своей книге «Пятьдесят девять икосаэдров» 1938 года HSM Coxeter , P. Du Val , HT Flather и JF Petrie сформулировали набор правил звездчатости для правильного икосаэдра и дали систематический перечень пятидесяти девяти звездочек, которые соответствуют этим правилам. . Полная звездчатая форма упоминается в книге как восьмая.
• 1974: В Wenninger «s 1974 книги многогранник Модели , то Ехиднаэдр входят в 17 - е модели звездчатых икосаэдров с порядковым номером W ₄₂ .
• 1995: Эндрю Хьюм назвал его в своей многогранной базе данных Netlib как ехиднаэдр ^[8] ( ехидна , или колючий муравьед - это маленькое млекопитающее , покрытое жесткой шерстью и шипами и которое для защиты сворачивается в клубок).

Интерпретации [ править ]

В виде звездочки [ править ]

Плеяде'ученый многогранник расширяет грань многогранника в бесконечные плоскости и генерирует новый многогранник, ограниченный эти плоскости , как и грани пересечений этих плоскостей в качестве ребер. Пятьдесят девять икосаэдров перечисляют звёздчатые формы правильного икосаэдра в соответствии с набором правил, предложенных JCP Миллером , включая полное звёздчатость . Символ Дюваля полной звездчатой ​​системы - H , потому что он включает в себя все ячейки на звездчатой ​​диаграмме до самого внешнего слоя «h» включительно. ^[6]

Как простой многогранник [ править ]

В виде простого многогранника с видимой поверхностью внешняя форма конечной звездообразной формы состоит из 180 треугольных граней, которые являются крайними треугольными областями на звездчатой ​​диаграмме. Они соединяются по 270 ребрам, которые, в свою очередь, пересекаются в 92 вершинах с эйлеровой характеристикой, равной 2. ^[9]

92 вершины лежат на поверхностях трех концентрических сфер. Самая внутренняя группа из 20 вершин образует вершины правильного додекаэдра; следующий слой из 12 образуют вершины правильного икосаэдра; а внешний слой 60 образуют вершины неоднородного усеченного икосаэдра. Радиусы этих сфер находятся в соотношении ^[10]

${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {3} {2}} \ left (3 + {\ sqrt {5}} \ right)}} \,: \, {\ sqrt {{\ frac {1} { 2}} \ left (25 + 11 {\ sqrt {5}} \ right)}} \,: \, {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left (97 + 43 {\ sqrt { 5}} \ right)}} \ ,.}$

Если рассматривать как трехмерный твердый объект с длинами ребер a , φ a , φ ² a и φ ² a √ 2 (где φ - золотое сечение ), весь икосаэдр имеет площадь поверхности ^[10]

${\ displaystyle S = {\ frac {1} {20}} (13211 + {\ sqrt {174306161}}) a ^ {2} \ ,,}$

и том ^[10]

${\ Displaystyle V = (210 + 90 {\ sqrt {5}}) а ^ {3} \ ,.}$

Как звездный многогранник [ править ]

Полную звездчатую форму можно также рассматривать как самопересекающийся звездный многогранник, имеющий 20 граней, соответствующих 20 граням нижележащего икосаэдра. Каждая грань представляет собой неправильный многоугольник со звездами 9/4 или эннеаграмму . ^[6] Поскольку три грани пересекаются в каждой вершине, она имеет 20 × 9/3 = 60 вершин (это самый внешний слой видимых вершин и образуют концы «шипов») и 20 × 9/2 = 90 ребер (каждая ребро звездного многогранника включает и соединяет два из 180 видимых ребер).

Когда он рассматривается как звездчатый икосаэдр, полная звездчатость представляет собой благородный многогранник , потому что он одновременно изоэдрический (транзитивный по граням ) и изогональный (транзитивный по вершинам).

См. Также [ править ]

• Многогранник Кеплера – Пуансо
• Список моделей многогранников Веннингера

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брюкнер, Макс (1900). Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte . Лейпциг: Б.Г. Тройбнер. ISBN 978-1-4181-6590-1 . (на немецком языке) WorldCat English: Polygons and Polyhedra: Theory and History . Фотографии моделей: Tafel VIII (Plate VIII) и др. Высокое разрешение. сканирование. 
• AH Wheeler, Некоторые формы икосаэдра и метод получения и обозначения высших многогранников , Proc. Междунар. Математика. Конгресс, Торонто, 1924 г., т. 1. С. 701–708.
• HSM Coxeter , Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 , 3.6. 6.2 Звёздчатые тела Платоновых тел , стр. 96–104 
• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд ; Du Val, P .; Flather, HT; Петри, JF (1999), Пятьдесят девять икосаэдров (3-е изд.), Tarquin, ISBN 978-1-899618-32-3, Руководство по ремонту  0676126 (1-й Эднский университет Торонто (1938))
• Веннингер, Магнус Дж. , Модели многогранников ; Издательство Кембриджского университета, 1-е изд. (1983), Ppbk (2003). ISBN 978-0-521-09859-5 . (Модель 42, стр. 65, Окончательная звездчатость икосаэдра ) 
• Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-66405-5.
• Дженкинс, Джеральд и Магдалина Медведь. Последняя звездчатая форма икосаэдра: продвинутая математическая модель, которую нужно вырезать и склеить . Норфолк, Англия: Tarquin Publications, 1985. ISBN 978-0-906212-48-6 . 

Внешние ссылки [ править ]

• С инструкциями по построению модели ехиднаэдра ( .doc ) Ральфа Джонса
• Гай Инчбальд о звездообразном икосаэдре и огранке додекаэдра .
• Вайсштейн, Эрик В. "Пятьдесят девять звездчатых икосаэдров" . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Ехиднаэдр» . MathWorld .
• Звёздчатые формы икосаэдра
• 59 Звёздчатые формы Икосаэдра
• Модель VRML : http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/echidnahedron.wrl
• Netlib : база данных многогранников, модель 141