В математике, особенно в топологии , пространство G δ - это топологическое пространство, в котором замкнутые множества каким-то образом «отделены» от своих дополнений, используя только счетное количество открытых множеств . Таким образом, пространство AG δ можно рассматривать как пространство, удовлетворяющее другой аксиоме разделения . Фактически нормальные G δ- пространства называются совершенно нормальными пространствами и удовлетворяют самой сильной из аксиом отделимости .
Пространства G δ также называются совершенными пространствами . [1] Термин « совершенный» также несовместимо используется для обозначения пространства без изолированных точек ; см. Идеальный набор .
Определение
Счетное пересечение открытых множеств в топологическом пространстве называется множеством G δ . Очевидно, каждое открытое множество является множеством G δ . Двойственно, счетное объединение замкнутых множеств называется F σ множество . Очевидно, каждое замкнутое множество является множеством F σ .
Топологическое пространство X называется G δ- пространством [2], если каждое замкнутое подмножество X является G δ- множеством. Двойственно и эквивалентно, пространство G δ - это пространство, в котором каждое открытое множество является множеством F σ .
Свойства и примеры
- Каждое подпространство пространства G δ является пространством G δ .
- Каждое метризуемое пространство является G δ- пространством. То же верно и для псевдометризуемых пространств .
- Каждое второе счетное регулярное пространство является G δ- пространством. Это следует из теоремы Урысона о метризации в случае Хаусдорфа, но легко показать напрямую. [3]
- Каждое счетное регулярное пространство является G δ- пространством.
- Каждое наследственно регулярное пространство Линделёфа является G δ- пространством. [4] Такие пространства на самом деле совершенно нормальны . Это обобщает предыдущие два пункта о вторых счетных и счетных регулярных пространствах.
- Пространство AG δ не обязательно должно быть нормальным, как показывает R, наделенный K-топологией . Этот пример не является обычным пространством. Примерами ненормальных пространств Тихонова G δ являются плоскость Соргенфрея [5] и плоскость Ниемицкого . [6]
- В первом счетном пространстве T 1 каждый элемент является множеством G δ . Этого недостаточно для того, чтобы пространство было пространством G δ , как показано, например , топологией лексикографического порядка на единичном квадрате . [7]
- Линия Соргенфрея является примером совершенно нормального (т. Е. Нормального G δ ) пространства, которое не является метризуемым.
- Топологическая сумма семейства непересекающихся топологических пространств является G δ- пространством тогда и только тогда, когда каждоеявляется G δ- пространством.
Заметки
- ^ Энгелькинг, 1.5.H (а), стр. 48
- ^ Стин и Зеебах, стр. 162
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/1966730
- ^ https://arxiv.org/pdf/math/0412558.pdf , лемма 6.1
- ^ https://dantopology.wordpress.com/2014/05/07/the-sorgenfrey-plane-is-subnormal/
- ^ https://math.stackexchange.com/questions/2711463
- ^ https://dantopology.wordpress.com/2009/10/07/the-lexicographic-order-and-the-double-arrow-space/
Рекомендации
- Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Heldermann Verlag, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
- Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (переиздание Dover Publications, изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446
- Рой А. Джонсон (1970). «Компактное неметризуемое пространство, в котором каждое замкнутое подмножество является G-дельтой». Американский математический ежемесячник , Vol. 77, № 2, с. 172–176. на JStor