Типичное матричное кольцо

В алгебре , родовое кольцо матриц является своего рода универсальной матрицы кольца .

Определение [ править ]

Обозначим через общее кольцо матриц размера n с переменными . Он характеризуется универсальным свойством: дана коммутативное кольцо R и п матрицы с размерностью п матрицы над R , любое отображение распространяется на кольцевом гомоморфизм (называется оценка) .${\ displaystyle F_ {n}}$${\ displaystyle X_ {1}, \ dots X_ {m}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, \ dots, A_ {m}}$${\ displaystyle X_ {i} \ mapsto A_ {i}}$${\ Displaystyle F_ {n} \ к M_ {n} (R)}$

Явно, учитывая поле к , это подалгебра матричного кольца , порожденным п матрицы с размерностью п матрицами , где являются матричными и коммутируют по определению. Например, если m  = 1, то это кольцо многочленов от одной переменной.${\ displaystyle F_ {n}}$${\ Displaystyle M_ {N} (к [(X_ {l}) _ {ij} \ середина 1 \ Leq l \ Leq m, \ 1 \ Leq i, j \ Leq n])}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ точки, X_ {m}}$${\ displaystyle (X_ {l}) _ {ij}}$${\ displaystyle F_ {1}}$

Например, центральный многочлен - это элемент кольца, который будет отображаться на центральный элемент при оценке. (Фактически, он находится в инвариантном кольце, поскольку является центральным и инвариантным. ^[1] )${\ displaystyle F_ {n}}$ ${\ displaystyle к [(X_ {l}) _ {ij}] ^ {\ operatorname {GL} _ {n} (k)}}$

По определению, является фактором от свободного кольца с помощью идеала , состоящего из все р , равный нуль одинаково на всех N матрицы с размерностью п матриц над к .${\ displaystyle F_ {n}}$ ${\ Displaystyle к \ langle t_ {1}, \ точки, t_ {m} \ rangle}$${\displaystyle t_{i}\mapsto X_{i}}$

Геометрическая перспектива [ править ]

Универсальное свойство означает, что любой гомоморфизм колец из в матричное кольцо пропускается через . Это имеет следующий геометрический смысл. В алгебраической геометрии кольцо многочленов является координатным кольцом аффинного пространства , и дать точку - значит дать кольцевой гомоморфизм (оценку) (либо с помощью гильбертова nullstellensatz, либо по теории схем ). Свободное кольцо играет роль координатного кольца аффинного пространства в некоммутативной алгебраической геометрии (т. Е. Мы не требуем коммутации свободных переменных) и, следовательно, кольцо матриц общего положения размера n${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle k[t,\dots ,t_{m}]}$${\displaystyle k^{m}}$${\displaystyle k^{m}}$${\displaystyle k[t,\dots ,t_{m}]\to k}$${\displaystyle k\langle t_{1},\dots ,t_{m}\rangle }$является координатным кольцом некоммутативного аффинного многообразия, точками которого являются спецификации колец матриц размера n (более конкретное обсуждение см. ниже).

Максимальный спектр кольца матриц общего положения [ править ]

Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Июнь 2014 г. )

Для простоты предположим , к является алгебраически замкнутым . Пусть A - алгебра над k, и пусть обозначает множество всех максимальных идеалов в A таких, что . Если коммутативности, то есть максимальный спектр из А и является пустым для любого .${\displaystyle \operatorname {Spec} _{n}(A)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A/{\mathfrak {m}}\approx M_{n}(k)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{1}(A)}$${\displaystyle \operatorname {Spec} _{n}(A)}$${\displaystyle n>1}$

Ссылки [ править ]

• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) .
• Кон, Пол М. (2003). Дальнейшая алгебра и приложения (Пересмотренное изд. Алгебры, 2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl  1006.00001 .