Гильберта о нулях (немецкий язык для «теоремы нулей» или более буквально, «нуль-локус-теорема» -см Сац ) является теорема, устанавливающая фундаментальную связь между геометрией и алгеброй . Эти отношения лежат в основе алгебраической геометрии , раздела математики . Он связывает алгебраические множества с идеалами в кольцах многочленов над алгебраически замкнутыми полями . Это соотношение было обнаружено Дэвидом Гильбертом, который доказал Nullstellensatz и несколько других важных связанных теорем, названных в его честь (например , теорема Гильберта о базисе ).
Формулировка
Пусть k - поле (например, рациональные числа ), а K - алгебраически замкнутое расширение поля (например, комплексные числа ). Рассмотрим кольцо многочленов и пусть я буду идеалом на этом ринге. Алгебраическое множество V ( I ) , определяемый этот идеал состоит из всех п -кортежей х = ( х 1 , ..., х п ) в К п такой , что F ( х ) = 0 для всех F в I . Nullstellensatz Гильберта утверждает, что если p - некоторый многочлен отчто обращается в нуль на алгебраическом множестве V ( I ), то есть р ( х ) = 0 для всех х в V ( I ), то существует натуральное число г такое , что р т в I .
Непосредственным следствием этого является слабый Nullstellensatz : идеальныйсодержит 1 тогда и только тогда, когда многочлены из I не имеют общих нулей в K n . Его также можно сформулировать так: если I - собственный идеал втогда V ( I ) не может быть пустым , т. е. существует общий нуль для всех многочленов идеала в каждом алгебраически замкнутом расширении k . Отсюда и название теоремы, которая легко может быть доказана из «слабой» формы с помощью трюка Рабиновича . Предположение о рассмотрении общих нулей в алгебраически замкнутом поле здесь существенно; например, элементы собственного идеала ( X 2 + 1) в не имеют общего нуля в
Используя обозначения, общие для алгебраической геометрии, Nullstellensatz также можно сформулировать как
для каждого идеала J . Здесь,обозначает радикал из J и I ( U ) является идеалом всех многочленов, обращающихся в нуль на множестве U .
Таким образом, мы получим порядка реверсирование взаимно однозначное соответствие между алгебраическими множествами в K н и радикальные идеалами изФактически, в более общем смысле, имеется связь Галуа между подмножествами пространства и подмножествами алгебры, где « замыкание Зарисского » и «радикал порожденного идеала» являются операторами замыкания .
В качестве частного примера рассмотрим точку . потом. В более общем смысле,
Наоборот, каждый максимальный идеал кольца многочленов (Обратите внимание, что алгебраически замкнуто) имеет вид для некоторых .
В качестве другого примера, алгебраическое подмножество W в K n неприводимо (в топологии Зарисского) тогда и только тогда, когда это главный идеал.
Доказательство и обобщение
Есть много известных доказательств теоремы. Одно доказательство использует лемму Зариской , которая утверждает , что если поле конечно порождено как ассоциативная алгебра над полем к , то есть конечное расширение поля от к (то есть, оно также конечно порождено как векторного пространство ). Вот набросок этого доказательства. [1]
Позволять ( k алгебраически замкнутое поле), I - идеал A, а V - общие нули I в. Четко,. Позволять. потом для какого-то главного идеала в A . Позволять а также максимальный идеал в . По лемме Зарисскогоявляется конечным расширением k ; таким образом, является k, поскольку k алгебраически замкнуто. Позволять быть изображениями под естественной картой . Следует, что а также .
Nullstellensatz также тривиально следует из систематического развития колец Джекобсона , в котором радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов. Позволятькольцо Якобсона. Есликонечно порожденная R -алгебра , токольцо Якобсона. Далее, если - максимальный идеал, то - максимальный идеал в R, а является конечным полем расширения .
Другое обобщение утверждает, что строго плоский морфизм схем локально конечного типа с квазикомпактным X имеет квазисечение , т. е. существуетаффинно, строго плоско и квазиконечно над X вместе с X -морфизмом
Эффективный Nullstellensatz
Во всех своих вариантах Nullstellensatz Гильберта утверждает, что некоторый многочлен g принадлежит или не принадлежит идеалу, порожденному, скажем, f 1 , ..., f k ; мы имеем г = е г в сильной версии, г = 1 в слабой форме. Это означает наличие или отсутствие многочленов g 1 , ..., g k таких, что g = f 1 g 1 + ... + f k g k . Обычные доказательства Nullstellensatz не являются конструктивными и неэффективными в том смысле, что они не дают возможности вычислить g i .
Таким образом, возникает довольно естественный вопрос, есть ли эффективный способ вычислить g i (и показатель степени r в сильной форме) или доказать, что их не существует. Для решения этой проблемы достаточно предоставить верхнюю границу общей степени g i : такая оценка сводит проблему к конечной системе линейных уравнений, которую можно решить обычными методами линейной алгебры . Любая такая верхняя граница называется эффективным Nullstellensatz .
Связанная с этим проблема - проблема идеального членства , которая заключается в проверке принадлежности многочлена идеалу. Для этой проблемы также решение обеспечивается верхней границей степени g i . Общее решение проблемы идеального членства обеспечивает эффективный Nullstellensatz, по крайней мере, для слабой формы.
В 1925 году Грете Германн дала оценку сверху для проблемы идеальной принадлежности, которая является дважды экспоненциальной по количеству переменных. В 1982 году Майр и Мейер привели пример, в котором g i имеет степень, по крайней мере, двойную экспоненциальную, показывая, что каждая общая верхняя граница для проблемы идеального членства является дважды экспоненциальной по количеству переменных.
Поскольку большинство математиков в то время полагали, что эффективный Nullstellensatz по крайней мере так же сложен, как идеальное членство, немногие математики искали оценку лучше, чем двойная экспонента. Однако в 1987 г. У. Дейл Браунавелл дал верхнюю границу для эффективного Nullstellensatz, который просто экспоненциально зависит от числа переменных. [2] Доказательство Браунавелла основывалось на аналитических методах, применимых только в характеристике 0, но год спустя Янош Коллар дал чисто алгебраическое доказательство несколько лучшей оценки, применимое для любой характеристики.
В случае слабого Nullstellensatz оценка Коллара следующая: [3]
- Пусть f 1 , ..., f s - многочлены от n ≥ 2 переменных полной степени d 1 ≥ ... ≥ d s . Если существуют многочлены g i такие, что f 1 g 1 + ... + f s g s = 1 , то их можно выбрать так, что
- Эта оценка оптимальна, если все степени больше 2.
Если d - максимальная из степеней f i , эту границу можно упростить до
Результат Коллара был улучшен несколькими авторами. По состоянию на 14 октября 2012 г.[Обновить], лучшее улучшение М. Сомбра - [4]
Его оценка улучшает оценку Коллара, как только по крайней мере две из участвующих степеней ниже 3.
Проективный Nullstellensatz
Мы можем сформулировать определенное соответствие между однородными идеалами многочленов и алгебраическими подмножествами проективного пространства, называемое проективным Nullstellensatz , которое аналогично аффинному. Для этого введем некоторые обозначения. Позволять Однородный идеал,
называется максимальным однородным идеалом (см. также нерелевантный идеал ). Как и в аффинном случае, допустим: для подмножестваи однородный идеал I кольца R ,
От мы имеем в виду: для любых однородных координат точки S имеем. Отсюда следует, что однородные компоненты f также равны нулю на S и, следовательно, чтооднородный идеал. Эквивалентно,является однородным идеал , порожденный однородными многочленами F , равных нулю на S . Теперь для любого однородного идеала, согласно обычному Nullstellensatz, мы имеем:
и поэтому, как и в аффинном случае, имеем: [5]
- Существует взаимно однозначное соответствие между собственными однородными радикальными идеалами R и подмножествами формы Соответствие дается а также
Аналитический Nullstellensatz
Нуллстеллензац также имеет место для ростков голоморфных функций в точке комплексного n -пространства Точно для каждого открытого подмножества позволять обозначим кольцо голоморфных функций на U ; тогдаэто связка на Стебель в, скажем, начало координат может быть показано как нётерово локальное кольцо, которое является уникальной областью факторизации .
Если росток, представленный голоморфной функцией , тогда пусть - класс эквивалентности множества
где два подмножества считаются эквивалентными, если для некоторой окрестности U точки 0. Примечание. не зависит от выбора представителя Для каждого идеала позволять обозначать для некоторых генераторов из I . Это четко определено; т.е. не зависит от выбора генераторов.
Для каждого подмножества , позволять
Легко увидеть, что это идеал и это если в рассмотренном выше смысле.
Затем аналитический Nullstellensatz утверждает: [6] для каждого идеала,
где левая сторона представляет собой радикал из I .
Смотрите также
- Positivstellensatz Стенгла
- Дифференциальный Nullstellensatz
- Комбинаторный Nullstellensatz
- Лемма Артина – Тейта.
- Настоящий радикал
- Ограниченные степенные ряды # Алгебра Тейта , аналог нулевого телензаца Гильберта, выполняется для алгебр Тейта.
Заметки
- Перейти ↑ Atiyah-MacDonald 1969 , Ch. 7
- ^ Brownawell, W. Dale (1987), "Границы степеней в Nullstellensatz", Ann. математики. , 126 (3): 577-591, DOI : 10,2307 / 1971361 , МР 0916719
- ^ Коллар, Янош (1988), "Sharp Эффективное нулях" (PDF) , Журнал Американского математического общества , 1 (4): 963-975, DOI : 10,2307 / 1990996 , MR 0944576 , в архиве с оригинальной (PDF) на 2014 год -03-03 , получено 14.10.2012
- ^ Сомбра, Мартин (1999), "A Sparse Effective Nullstellensatz", Advances in Applied Mathematics , 22 (2): 271–295, arXiv : alg-geom / 9710003 , doi : 10.1006 / aama.1998.0633 , MR 1659402
- ^ Эта формулировка взята из Милна, Алгебраическая геометрия [1] и отличается от Хартшорна 1977 , гл. I, упражнение 2.4
- ^ Huybrechts , Предложение 1.1.29.
Рекомендации
- JM Almira , Nullstellensatz revisited , Rend. Сем. Мат. Univ. Pol. Турин - Том. 65 (3) (2007) 365-369
- М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Аддисон – Уэсли , 1994. ISBN 0-201-40751-5
- Сигеру Мукаи (2003). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования в области высшей математики. 81 . Уильям Оксбери (пер.). п. 82. ISBN 0-521-80906-1.
- Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1999.
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Хайбрехтс, Даниэль (2005). Сложная геометрия: Введение . Springer. ISBN 3-540-21290-6.