Геометрическая теория групп — это область математики , посвященная изучению конечно порожденных групп путем изучения связи между алгебраическими свойствами таких групп и топологическими и геометрическими свойствами пространств, на которых эти группы действуют (то есть, когда рассматриваемые группы реализуются как геометрические симметрии или непрерывные преобразования некоторых пространств).
Другая важная идея геометрической теории групп состоит в том, чтобы рассматривать конечно порожденные группы как геометрические объекты. Обычно это делается путем изучения графов Кэли групп, которые, помимо структуры графа , наделены структурой метрического пространства , задаваемой так называемой словесной метрикой .
Геометрическая теория групп как отдельная область относительно нова и стала четко идентифицируемой отраслью математики в конце 1980-х - начале 1990-х годов. Геометрическая теория групп тесно взаимодействует с маломерной топологией , гиперболической геометрией , алгебраической топологией , вычислительной теорией групп и дифференциальной геометрией . Имеются также существенные связи с теорией сложности , математической логикой , изучением групп Ли и их дискретных подгрупп, динамическими системами , теорией вероятностей , К-теорией и другими областями математики.
Во введении к своей книге « Темы геометрической теории групп» Пьер де ла Арп писал: «Одно из моих личных убеждений состоит в том, что увлечение симметриями и группами — это один из способов справиться с фрустрацией жизненных ограничений: нам нравится распознавать симметрии, которые позволяют нам В этом смысле изучение геометрической теории групп является частью культуры и напоминает мне о нескольких вещах, которые Жорж де Рам практиковал во многих случаях, таких как преподавание математики, декламация Малларме или приветствие друг". [1] : 3
Геометрическая теория групп выросла из комбинаторной теории групп , которая в основном изучала свойства дискретных групп посредством анализа групповых представлений , описывающих группы как частные группы свободных групп ; это поле было впервые систематически изучено Вальтером фон Дайком , учеником Феликса Кляйна , в начале 1880-х годов [2] , в то время как ранняя форма обнаружена в исчислении Икоса 1856 года Уильяма Роуэна Гамильтона , где он изучал группу икосаэдрической симметрии через ребро граф додекаэдра. В настоящее время комбинаторная теория групп как область в значительной степени поглощена геометрической теорией групп. Более того, термин «геометрическая теория групп» стал часто включать изучение дискретных групп с использованием вероятностного, теоретико-мерного , арифметического, аналитического и других подходов, лежащих за пределами традиционного арсенала комбинаторной теории групп.
В первой половине 20-го века новаторские работы Макса Дена , Якоба Нильсена , Курта Райдемайстера и Отто Шрайера , Дж. Х. Х. Уайтхеда , Эгберта ван Кампена , среди прочих, ввели некоторые топологические и геометрические идеи в изучение дискретных групп. [3] Другие предшественники геометрической теории групп включают малую теорию сокращения и теорию Басса-Серра . Теория малых сокращений была введена Мартином Гриндлингером в 1960-х годах [4] [5] и развита Роджером Линдоном и Полом Шуппом .. [6] Он изучает диаграммы Ван Кампена , соответствующие представлениям конечных групп, с помощью комбинаторных условий кривизны и выводит алгебраические и алгоритмические свойства групп из такого анализа. Теория Басса-Серра, представленная в книге Серра 1977 года [7] , выводит структурно-алгебраическую информацию о группах путем изучения групповых действий на симплициальных деревьях . Внешние предшественники геометрической теории групп включают изучение решеток в группах Ли, особенно теорему жесткости Мостова , изучение клейнианских групп , а также прогресс, достигнутый в низкоразмерной топологии и гиперболической геометрии в 1970-х и начале 1980-х годов, подстегнутый, в частности, кПрограмма геометризации Уильяма Тёрстона .