В гидродинамике , закон Грина , названный в честь 19-го века английский математик Джордж Грин , является закон сохранения , описывающее эволюцию неразрывный , поверхностных гравитационных волн , распространяющихся в мелкой воде постепенно изменяющейся глубины и ширины. В своей простейшей форме для волновых фронтов и горизонталей глубины, параллельных друг другу (и побережью), он гласит:
- или же
где а также - высота волны в двух разных местах - 1 и 2 соответственно - где волна проходит, и а также - средняя глубина воды в тех же двух точках.
Закон Грина часто используется в прибрежной инженерии для моделирования длинных мелководных волн на пляже, причем «длинные» означают длины волн, которые примерно в двадцать раз превышают среднюю глубину воды. [1] Отмели цунами (меняют свою высоту) в соответствии с этим законом по мере их распространения - за счет рефракции и дифракции - через океан и вверх по континентальному шельфу . Очень близко к побережью (и поднимаясь вверх) становятся важными нелинейные эффекты, и закон Грина больше не применяется. [2] [3]
Описание
Согласно этому закону, основанному на линеаризованных уравнениях мелкой воды , пространственные вариации высоты волны (в два раза больше амплитуды для синусоидальной волны , равной амплитуде для уединенной волны ) для бегущих волн в воде средней глубины и ширина (в случае открытого канала ) удовлетворяют [4] [5]
где является корень четвертой степени из Следовательно, при рассмотрении двух поперечных сечений открытого канала, обозначенных цифрами 1 и 2, высота волны в сечении 2 составляет:
с индексами 1 и 2, обозначающими величины в соответствующем поперечном сечении. Итак, когда глубина уменьшилась в шестнадцать раз, волны стали вдвое выше. А высота волны увеличивается вдвое после того, как ширина канала постепенно уменьшается в четыре раза. Для распространения волн перпендикулярно к прямому берегу с изолиниями глубины, параллельными береговой линии, принимают постоянная, скажем, 1 метр или ярд.
Для преломления длинных волн в океане или у берега ширина можно интерпретировать как расстояние между волновыми лучами . Лучи (и изменения расстояния между ними) следуют из приближения геометрической оптики к линейному распространению волн. [6] В случае прямых параллельных контуров глубины это упрощает использование закона Снеллиуса . [7]
Грин опубликовал свои результаты в 1838 г. [8], основанные на методе - методе Лиувилля – Грина - который впоследствии превратился в то, что сейчас известно как приближение ВКБ . Закон Грина также соответствует постоянству среднего потока энергии горизонтальных волн для длинных волн: [4] [5]
где - групповая скорость (равная фазовой скорости на мелководье),- средняя плотность энергии волны, проинтегрированная по глубине и на единицу горизонтальной площади,- ускорение свободного падения иэто плотность воды .
Длина волны и период
Далее, исходя из анализа Грина, длина волны волны укорачивается при переходе на мелководье, с [4] [8]
по волновому лучу . Согласно линейной теории Грина, период колебаний (а, следовательно, и частота ) мелководных волн не меняется.
Вывод
Грин вывел свой закон обмеления для волн на воде, используя то, что сейчас известно как метод Лиувилля – Грина, применимый к постепенным изменениям глубины. и ширина по пути распространения волны. [9]
Вывод закона Грина | ||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Волновое уравнение для открытого каналаОтправной точкой являются линеаризованные одномерные уравнения Сен-Венана для открытого канала прямоугольного сечения (вертикальные боковые стенки). Эти уравнения описывают эволюцию волны с возвышением свободной поверхности. и горизонтальная скорость потока с участием горизонтальная координата по оси канала и время: где - сила тяжести Земли (принятая за постоянную величину),это средняя глубина воды, ширина канала и а также обозначают частные производные по пространству и времени. Медленное изменение ширины и глубина с расстоянием вдоль оси канала учитывается, обозначая их как а также где это небольшой параметр: Два приведенных выше уравнения можно объединить в одно волновое уравнение для высоты поверхности:
В методе Лиувилля – Грина подход состоит в том, чтобы преобразовать указанное выше волновое уравнение с неоднородными коэффициентами в однородное (пренебрегая некоторыми малыми остатками в терминах). Преобразование в фазу волны как независимая переменнаяСледующим шагом является применение преобразования координат , вводя время пробега (или фазу волны ). дано
а также связаны через быстроту Представляем медленную переменную и обозначая производные от а также относительно с штрихом, например в -производные в волновом уравнении, Ур. ( 1 ) стать: Теперь волновое уравнение ( 1 ) преобразуется в:
Следующим шагом является преобразование уравнения таким образом, чтобы оставались только отклонения от однородности во втором порядке приближения , т. Е. Пропорциональные Дальнейшее преобразование в сторону однородностиОднородное волновое уравнение (т.е. уравнение ( 2 ), когда равен нулю) имеет решения для бегущих волн постоянной формы, распространяющихся либо в отрицательной, либо в положительной-направление. Для неоднородного случая, рассматривая волны, распространяющиеся в положительной-направлении, Грин предлагает приблизительное решение:
потом Теперь левая часть уравнения. ( 2 ) становится: Итак, предлагаемое решение в формуле. ( 3 ) удовлетворяет уравнению. ( 2 ), а значит, и уравнение. ( 1 ) помимо указанных выше двух членов, пропорциональных а также , с участием Ошибка в решении может быть сделана по порядку при условии У этого есть решение: Используя уравнение. ( 3 ) и преобразование из к , приближенное решение для отметки поверхности является
где постоянная был установлен на единицу без потери общности . Волны, движущиеся в отрицательном направлении-направление имеют знак минус в аргументе функции перевернут на знак плюса. Поскольку теория линейна, решения могут быть добавлены из-за принципа суперпозиции . Синусоидальные волны и закон ГринаВолны изменяющиеся во времени синусоидальные , с периодом считаются. Это где это амплитуда ,это высота волны ,- угловая частота и- фаза волны . Следовательно, такжев формуле. ( 4 ) должна быть синусоидальной волной, например с участием константа. Применяя эти формы а также в формуле. ( 4 ) дает: что является законом Грина . Скорость потокаГоризонтальная скорость потока в -направление следует непосредственно из подстановки решения для отметки поверхности из уравнения. ( 4 ) в выражение дляв формуле. ( 1 ): [10] а также дополнительный постоянный разряд . Обратите внимание, что - когда ширина и глубина не являются константами - член, пропорциональный подразумевает (небольшая) разность фаз между высотами и скорость . Для синусоидальных волн с амплитудой скорости скорости потока мелкие к первому порядку как [8] Этого можно было ожидать, поскольку для горизонтальной грядки с участием амплитуда волны. |
Заметки
- ↑ Дин и Дэлримпл (1991 , §3.4)
- ^ Synolakis & Skjelbreia (1993)
- ^ Synolakis (1991)
- ^ a b c Лэмб (1993 , §185)
- ^ а б Дин и Далримпл (1991 , §5.3)
- ^ Сатаке (2002)
- ^ Dean & Дэлримпл (1991 , §4.8.2)
- ^ a b c Зеленый (1838)
- ^ Вывод, представленный ниже, соответствуетлогикерассуждений, использованной Лэмбом (1993 , §169 и §185).
- ^ Диденкулова, Пелиновский & Soomere (2009)
Рекомендации
Зеленый
- Грин, Г. (1838), "О движении волн в переменном канале малой глубины и ширины", Труды Кембриджского философского общества , 6 : 457–462, Bibcode : 1838TCaPS ... 6..457G
Другие
- Craik, ADD (2004), «Истоки теории водных волн», Annual Review of Fluid Mechanics , 36 : 1–28, Bibcode : 2004AnRFM..36 .... 1C , doi : 10.1146 / annurev.fluid.36.050802. 122118
- Dean, RG; Далримпл, Р.А. (1991), Механика волн на воде для инженеров и ученых , Advanced Series on Ocean Engineering, 2 , World Scientific , ISBN 978-981-02-0420-4
- Диденкулова, И .; Пелиновский, Е .; Соомер, Т. (2009), «Динамика длинных поверхностных волн вдоль выпуклого дна», Журнал геофизических исследований , 114 (C7): C07006, 14 стр., ArXiv : 0804.4369 , Bibcode : 2009JGRC..114.7006D , doi : 10.1029 / 2008JC005027
- Лэмб, Х. (1993), Гидродинамика (6-е изд.), Довер, ISBN 0-486-60256-7
- Сатаке, К. (2002), «28 - Цунами», в Ли, WHK; Kanamori, H .; Дженнингс, ПК; Кисслингер, К. (ред.), Международный справочник по землетрясениям и инженерной сейсмологии , International Geophysics, 81, часть A, Academic Press , стр. 437–451, ISBN 978-0-12-440652-0
- Синолакис, CE (1991), «Цунами на крутых склонах: насколько хороша на самом деле линейная теория», Natural Hazards , 4 (2): 221–234, doi : 10.1007 / BF00162789
- Synolakis, CE; Skjelbreia, JE (1993), "Эволюция максимальной амплитуды одиночных волн на плоских пляжах", Journal of Waterway, Port, Coastal and Ocean Engineering , 119 (3): 323–342, doi : 10.1061 / (ASCE) 0733- 950X (1993) 119: 3 (323)