В математике , п - й корень из числа х представляет собой число г , которое при возведенное в степень п , дает х :
где n - натуральное число , иногда называемое степенью корня. Корень степени 2 называется квадратным корнем, а корень степени 3 - кубическим корнем . Корни более высокой степени обозначаются порядковыми числами, например, корень четвертой , двадцатый и т. Д. Вычисление корня n- й степени является извлечением корня .
Например, 3 является квадратным корнем из 9, поскольку 3 2 = 9, а −3 также является квадратным корнем из 9, поскольку (−3) 2 = 9.
Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное, имеет n различных комплексных корней n- й степени, включая действительные (не более двух). П - й корень 0 равен нулю для всех положительных целых чисел п , так как 0 п = 0 . В частности, если n четно, а x - положительное действительное число, один из его корней n- й степени действительный и положительный, один отрицательный, а остальные (когда n > 2 ) не являются действительными комплексными числами ; если n - четное, а x - отрицательное действительное число, ни одно изn- ые корни реальны. Если n нечетно, а x вещественно, одинкорень n- й степени вещественен и имеет тот же знак, что и x , в то время как другие ( n - 1 ) корни не являются действительными. Наконец, если x не является действительным, то ни один из егокорней n- й степени не является действительным.
Корни действительных чисел обычно записываются с использованием символа корня или системы счисления с обозначением положительного квадратного корня из x, если x положительно; для более высоких корней обозначает действительный корень n- й степени, если n нечетно, и положительный корень n- й степени, если n четно, а x положительно. В других случаях символ обычно не используется как неоднозначный. В выражении целое число n называется индексом, а x - подкоренным выражением .
Когда рассматриваются комплексные корни n- й степени, часто бывает полезно выбрать один из корней в качестве главного значения . Обычный выбор - это тот, который делает корень n- й степени непрерывной функцией , действительной и положительной для действительного и положительного x . Точнее, главный корень n- й степени x является корнем n- й степени с наибольшей действительной частью, а когда их два (для действительного и отрицательного x ), корнем с положительной мнимой частью .
Трудность с этим выбором состоит в том, что для отрицательного действительного числа и нечетного индекса главный корень n- й степени не является действительным. Например, имеют три кубические корни, , и корень реального куба и корень основного куба
Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется символ радикала, иногда называют сурдом [1] или радикалом . [2] Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или более высокий корень, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .
Корни также можно определить как частные случаи возведения в степень , где показатель степени является дробью :
Корни используются для определения радиуса сходимости в виде степенного ряда с испытанием корня . В п - е корни 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, такие как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .
История [ править ]
Архаичный термин для извлечения корней n - это радикализация . [3] [4]
Определение и обозначения [ править ]
П - й корень из числа х , где п представляет собой положительное целое число, является любым из п действительных или комплексных чисел г которого п - й мощности х :
Каждое положительное вещественное число х имеет единственный положительный п - й корень, называется основной п - й корень , который написан . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, а n опускается. П - й корень также может быть представлен , используя возведение в степень , как х 1 / п .
Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, в то время как отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, у -2 есть действительный корень 5-й степени, а у -2 нет действительных корней 6-й степени.
Каждое ненулевое число x , действительное или комплексное , имеет n различных корней n- й степени комплексного числа . (В случае, если x действительный, это число включает в себя любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 - это 0.
П е корни почти всех чисел (все целые числа , за исключением п - й степеней, и все рациональные за исключением частных двух п - й степеней) являются иррациональными . Например,
Все корни n- й степени целых чисел являются алгебраическими числами .
Термин « сурд» восходит к аль-Хваризми (ок. 825 г.), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышными соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово « م » ( асамм , означающее «глухой» или «немой») для иррационального числа было переведено на латынь как «surdus» (что означает «глухой» или «немой»). Герард Кремонский (ок. 1150 г.), Фибоначчи (1202 г.), а затем Роберт Рекорд (1551 г.) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений формы, в которой иявляются целыми числами, а все выражение обозначает иррациональное число. [5] Квадратичные иррациональные числа , то есть иррациональные числа формы , также известны как «квадратичные сурды».
Квадратные корни [ править ]
Квадратный корень из числа х представляет собой число г , который, когда квадрат , становится х :
Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком радикала:
Поскольку квадрат каждого действительного числа неотрицателен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет собой число, квадрат которого равен −1 .
Кубические корни [ править ]
Кубический корень из числа х представляет собой число г которого куб является х :
У каждого действительного числа x записан ровно один действительный кубический корень . Например,
- и
Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.
Личности и свойства [ править ]
Выражение степени корня n- й степени в ее экспоненциальной форме, например, в , упрощает манипулирование степенями и корнями.
Каждое положительное действительное число имеет ровно один положительный действительный корень n- й степени, поэтому правила операций с surds, включающими положительные подкоренные выражения , просты в пределах действительных чисел:
Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n- й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:
- скорее
Поскольку правило строго выполняется только для неотрицательных вещественных подкоренных выражений, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.
Упрощенная форма радикального выражения [ править ]
Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет упрощенную форму, если [6]
- Нет множителя при подкоренном выражении, который можно было бы записать как степень, большую или равную индексу.
- Под знаком радикала нет дробей.
- В знаменателе нет радикалов.
Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:
Далее стоит дробь под знаком корня, которую мы меняем следующим образом:
Наконец, удаляем радикал из знаменателя следующим образом:
Когда есть знаменатель, включающий сурды, всегда можно найти множитель, на который можно умножить числитель и знаменатель, чтобы упростить выражение. [7] [8] Например, используя факторизацию суммы двух кубов :
Упростить радикальные выражения, содержащие вложенные радикалы, может быть довольно сложно. Например, неочевидно, что:
Вышеупомянутое можно получить с помощью:
Бесконечная серия [ править ]
Корень или корень могут быть представлены бесконечным рядом :
с . Это выражение может быть получено из биномиального ряда .
Вычисление основных корней [ править ]
П - го корня из целого числа к только целое число , если к является произведением п - й степени целых чисел. Во всех остальных случаях корень n- й степени целого числа является иррациональным числом . Например, корень пятой степени из 248832 равен
а корень пятой степени из 34 равен
где здесь многоточие означает не только то, что десятичное выражение не заканчивается после конечного числа цифр, но также то, что цифры никогда не входят в повторяющийся образец, потому что число иррационально.
Поскольку для положительных действительных чисел a и b равенство выполняется, указанное выше свойство может быть распространено на положительные рациональные числа. Пусть , с р и д взаимно простым и положительными целыми числами, рациональное число, то г имеет рациональный п - й корень, если как положительные , целые числа р и д есть целое число п - й корень, то есть, является произведением п - й степени рационально числа. Если один или оба корня n- й степени в p или q иррациональны, частное тоже иррационально.
Использование метода Ньютона [ править ]
П - й корень из числа А может быть вычислен с методом Ньютона . Начните с первоначального предположения x 0, а затем повторите, используя рекуррентное соотношение
пока не будет достигнута желаемая точность.
В зависимости от области применения может быть достаточно использовать только первое приближение Ньютона:
Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, обратите внимание, что 2 5 = 32 и, таким образом, возьмите x = 2, n = 5 и y = 2 в приведенной выше формуле. Это дает
Погрешность аппроксимации составляет всего около 0,03%.
Метод Ньютона может быть изменен для получения обобщенной непрерывной дроби для корня n- й степени, которая может быть изменена различными способами, как описано в этой статье. Например:
В случае корня пятой степени из 34 выше (после разделения выбранных общих факторов):
Последовательное вычисление главных корней десятичных (основание 10) чисел [ править ]
Основываясь на вычислении квадратного корня по цифрам , можно увидеть, что используемая здесь формула, или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для n- го корня числа определяется значение элемента в строке Треугольника Паскаля, так что мы можем переписать выражение как . Для удобства назовите результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень может быть вычислен цифра за цифрой следующим образом.
Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, корень будет записан в строке выше. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующих корню, начиная с десятичной точки и идя как влево, так и вправо. Десятичная точка корня будет выше десятичной точки подкоренного выражения. Одна цифра корня появится над каждой группой цифр исходного номера.
Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:
- Начиная слева, опустите наиболее значимую (крайнюю левую) группу цифр, которые еще не используются (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для создания группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и сложите цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .
- Найдите p и x следующим образом:
- Позвольте быть частью корня, найденной до сих пор , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага ).
- Определите наибольшую цифру, такую что .
- Поместите цифру как следующую цифру корня, т. Е. Над группой цифр, которую вы только что набрали. Таким образом, следующий p будет старым p, умноженным на 10 плюс x .
- Вычтите из, чтобы получить новый остаток.
- Если остаток равен нулю и нет больше цифр, которые нужно сбрасывать, то алгоритм завершен. В противном случае вернитесь к шагу 1 для другой итерации.
Примеры [ править ]
Найдите квадратный корень из 152,2756.
1 2. 3 4 / \ / 01 52,27 56
01 10 0 · 1 · 0 0 · 1 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 1 1 ≤ 1 <10 0 · 1 · 0 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 2 1 x = 1 01 y = 10 0 · 1 · 0 0 · 1 2 + 10 1 · 2 · 0 1 · 1 2 = 1 + 0 = 1 00 52 10 0 · 1 · 1 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 2 1 ≤ 52 <10 0 · 1 · 1 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 3 1 x = 2 00 44 y = 10 0 · 1 · 1 0 · 2 2 + 10 1 · 2 · 1 1 · 2 1 = 4 + 40 = 44 08 27 10 0 · 1 · 12 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 3 1 ≤ 827 <10 0 · 1 · 12 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 4 1 x = 3 07 29 y = 10 0 · 1 · 12 0 · 3 2 + 10 1 · 2 · 12 1 · 3 1 = 9 + 720 = 729 98 56 10 0 · 1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 4 1 ≤ 9856 <10 0 · 1 · 123 0 · 5 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 5 1 x = 4 98 56 y = 10 0 · 1 · 123 0 · 4 2 + 10 1 · 2 · 123 1 · 4 1 = 16 + 9840 = 9856 00 00 Алгоритм завершается: Ответ 12.34
Найдите кубический корень из 4192 до ближайшей сотой.
1 6. 1 2 4 3 / \ / 004 192 000 000 000
004 10 0 · 1 · 0 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 1 2 + 10 2 · 3 · 0 2 · 1 1 ≤ 4 <10 0 · 1 · 0 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 0 2 · 2 1 x = 1 001 y = 10 0 · 1 · 0 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 0 1 · 12 + 10 2 · 3 · 0 2 · 1 1 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 10 0 · 1 · 1 0 · 6 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 6 2 + 10 2 · 3 · 1 2 · 6 1 ≤ 3192 <10 0 · 1 · 1 0 · 7 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 7 2 + 10 2 · 3 · 1 2 · 7 1 x = 6 003096 y = 10 0 · 1 · 1 0 · 6 3 + 10 1 · 3 · 1 1 · 62 + 10 2 · 3 · 1 2 · 6 1 = 216 + 1080 + 1800 = 3096 096 000 10 0 · 1 · 16 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 1 2 + 10 2 · 3 · 16 2 · 1 1 ≤ 96000 <10 0 · 1 · 16 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 16 2 · 2 1 x = 1 077 281 y = 10 0 · 1 · 16 0 · 1 3 + 10 1 · 3 · 16 1 · 12 + 10 2 · 3 · 16 2 · 1 1 = 1 + 480 + 76 800 = 77 281 018 719 000 10 0 · 1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 2 2 + 10 2 · 3 · 161 2 · 2 1 ≤ 18719000 <10 0 · 1 · 161 0 · 3 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 3 2 + 10 2 · 3 · 161 2 · 3 1 x = 2 015 571 928 y = 10 0 · 1 · 161 0 · 2 3 + 10 1 · 3 · 161 1 · 22 + 10 2 · 3 · 161 2 · 2 1 = 8 + 19 320 + 15 552 600 = 15 571 928 003 147 072 000 10 0 · 1 · 1612 0 · 4 3 + 10 1 · 3 · 1612 1 · 4 2 + 10 2 · 3 · 1612 2 · 4 1 ≤ 31470 72000 <10 0 · 1 · 1612 0 · 5 3 + 10 1 · 3 · 1612 1 · 5 2 + 10 2 · 3 · 1612 2 · 5 1 x = 4 Желаемая точность достигается: Кубический корень из 4192 составляет примерно 16,12.
Логарифмический расчет [ править ]
Главный корень n- й степени положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n- й степени из x , а именно с положительным x и, следовательно, его главный корень r также положительным, нужно логарифмировать обе части ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить
Корень r восстанавливается из этого путем взятия антилогарифма :
(Примечание: эта формула показывает b, возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)
В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r, который также отрицателен. Его можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на −1, чтобы получить, а затем действуя, как и раньше, чтобы найти | r |, и используя r = - | г | .
Геометрическая конструктивность [ править ]
В древнегреческие математики знали , как использовать компас и Straightedge построить длину , равную квадратному корню из заданной длины, когда вспомогательная линия единичной длины дается. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины не может быть построен, если n не является степенью числа 2. [9]
Сложные корни [ править ]
Каждое комплексное число, отличное от 0, имеет n различных корней n- й степени.
Квадратные корни [ править ]
Два квадратных корня комплексного числа всегда отрицательны друг другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны
Если мы выразим комплексное число в полярной форме, то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол вдвое:
Основной корень комплексного числа может быть выбран различными способами, например ,
который вводит разрез ветви в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤ θ <2 π , или вдоль отрицательной вещественной оси с - π < θ ≤ π .
Используя первый (последний) ветви вырезать главный квадратный корень карты на полуплоскость с неотрицательной мнимой (реальной) части. Последний отрезок ветки предполагается в математическом программном обеспечении, таком как Matlab или Scilab .
Корни единства [ править ]
Число 1 имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости, а именно
куда
Эти корни равномерно расположены вокруг единичного круга в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и -1, а корни четвертой степени из единицы равны 1 ,, -1 и .
корни n [ править ]
Каждое комплексное число имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости. Это
где η - единственный корень n- й степени, а 1, ω , ω 2 , ... ω n −1 - корни n- й степени из единицы. Например, четыре разных корня четвертой степени из 2 равны
В полярной форме единственный корень n- й степени может быть найден по формуле
Здесь r - величина (модуль, также называемый абсолютным значением ) числа, из которого следует извлечь корень; если число можно записать как + bi, тогда . Кроме того, это угол, образованный при повороте в исходной точке против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он имеет свойства, которые и
Таким образом, поиск корней n- й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во- первых, величина всех п - й корней является п - й корень из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до одного из корней n- го порядка равен , где - угол, определенный таким же образом для числа, из которого извлекается корень. Кроме того, все корни n из n расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.
Если n четно, корни n- го порядка комплексного числа , из которых есть четное число, входят в аддитивные обратные пары, так что если число r 1 является одним из корней n- й степени, то r 2 = - r 1 является другим. Это связано с тем, что повышение коэффициента –1 последнего до степени n для четного n дает 1: то есть (- r 1 ) n = (–1) n × r 1 n = r 1 n .
Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет разветвление в точках, где θ / n является разрывным.
Решение многочленов [ править ]
Когда-то было высказано предположение, что все полиномиальные уравнения могут быть решены алгебраически (то есть, что все корни полинома могут быть выражены в терминах конечного числа радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для полиномов третьей степени ( кубики ) и полиномов четвертой степени ( квартик ), теорема Абеля – Руффини (1824) показывает, что это неверно в общем случае, когда степень равна 5 или больше. Например, решения уравнения
не могут быть выражены в терминах радикалов. ( ср. уравнение пятой степени )
Доказательство иррациональности несовершенной n- й степени x [ править ]
Предположим, что это рационально. То есть его можно сократить до дроби , где a и b - целые числа без общего множителя.
Это значит что .
Поскольку x является целым числом и должен иметь общий множитель, если . Это означает, что если , не в простейшей форме. Таким образом, b должно быть равно 1.
Так как и , .
Это означает , что и , таким образом, . Это означает, что это целое число. Поскольку x не является совершенной степенью n , это невозможно. Таким образом, это иррационально.
См. Также [ править ]
- Алгоритм N-го корня
- Алгоритм смещения корня n-й степени
- Радикальный символ
- Алгебраическое число
- Вложенный радикал
- Корень двенадцатой степени из двух
- Супер-корень
Ссылки [ править ]
- ^ Bansal, РК (2006). Новый подход к математике CBSE IX . Публикации Лакшми. п. 25. ISBN 978-81-318-0013-3.
- ^ Сильвер, Ховард А. (1986). Алгебра и тригонометрия . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-021270-2.
- ^ «Определение РАДИКАЦИИ» . www.merriam-webster.com .
- ^ "Radication - Определение Radication на английском языке Оксфордскими словарями" . Оксфордские словари .
- ^ «Самые ранние известные применения некоторых слов математики» . Страницы математики Джеффа Миллера . Проверено 30 ноября 2008 .
- ^ Маккиг, Чарльз П. (2011). Элементарная алгебра . п. 470. ISBN 978-0-8400-6421-9.
- ^ BF Caviness, RJ Fateman, «Упрощение выражений Radical» , Труды 1976 ACM симпозиума по Символическому и алгебраической Исчисление , стр. 329.
- ^ Ричард Зиппель, «Упрощение выражений с участием радикалов», Журнал символических вычислений 1 : 189–210 (1985) doi : 10.1016 / S0747-7171 (85) 80014-6 .
- ^ Wantzel, М. Л. (1837), "Recherches сюр ле Мойен де reconnaître си ун Probleme де Geometrie Peut себе résoudre ауес ла Règle и др ле COMPAS" , Журнал де Mathématiques Pures и др Appliquées , 1 (2): 366-372.
Внешние ссылки [ править ]
Поищите surd в Викисловаре, бесплатном словаре. |
Поищите радикальные слова в Викисловаре, бесплатном словаре. |