Уравнение Гросса – Питаевского ( GPE , названное в честь Евгения П. Гросса [1] и Льва Петровича Питаевского [2] ) описывает основное состояние квантовой системы тождественных бозонов с использованием приближения Хартри – Фока и модели псевдопотенциального взаимодействия.
Конденсат Бозе-Эйнштейна (БЭК) представляет собой газ бозонов , которые находятся в том же квантовом состоянии , и , следовательно , могут быть описаны одной и той же волновой функции . Свободная квантовая частица описывается одночастичным уравнением Шредингера . Взаимодействие между частицами в реальном газе учитывается подходящим многочастичным уравнением Шредингера. В приближении Хартри – Фока полная волновая функция системы бозоны взяты как произведение одночастичных функций ,
где координата -й бозон. Если среднее расстояние между частицами в газе больше, чем длина рассеяния (то есть в так называемом пределе разбавления), то можно аппроксимировать истинный потенциал взаимодействия, который присутствует в этом уравнении, с помощью псевдопотенциала . При достаточно низкой температуре, когда длина волны де Бройля намного больше, чем диапазон бозон-бозонного взаимодействия, [3] процесс рассеяния может быть хорошо аппроксимирован рассеянием s-волн (т. Е.в парциальном волновом анализе , также известном как потенциал твердых сфер ) только член. В этом случае гамильтониан псевдопотенциальной модели системы можно записать как:
где - масса бозона, внешний потенциал, - длина рассеяния s-волны бозон-бозона, а - дельта-функция Дирака.
В вариационном методе показывает , что если одночастичные волновые функции удовлетворяют следующее уравнение Гросса-Питаевское:
полная волновая функция минимизирует математическое ожидание модельного гамильтониана при условии нормировки Следовательно, такая одночастичная волновая функция описывает основное состояние системы.
GPE является модельным уравнением для одночастичной волновой функции основного состояния в конденсате Бозе – Эйнштейна . По форме оно похоже на уравнение Гинзбурга – Ландау и иногда называется « нелинейным уравнением Шредингера ».
Нелинейность уравнения Гросса – Питаевского возникает во взаимодействии между частицами: при установке константы взаимодействия в уравнении Гросса – Питаевского равной нулю (см. Следующий раздел): таким образом, одночастичное уравнение Шредингера описание частицы внутри ловушечного потенциала восстанавливается.
Форма уравнения
Уравнение имеет форму уравнения Шредингера с добавлением члена взаимодействия. Константа связи пропорциональна длине рассеяния s-волны двух взаимодействующих бозонов:
- ,
где - приведенная постоянная Планка и- масса бозона. Плотность энергии равна
где - волновая функция или параметр порядка, а - внешний потенциал (например, гармоническая ловушка). Не зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского для сохраняющегося числа частиц имеет вид
где является химическим потенциалом . Химический потенциал определяется из условия , что число частиц связано с волновой функции по
Из не зависящего от времени уравнения Гросса – Питаевского можно найти структуру конденсата Бозе – Эйнштейна в различных внешних потенциалах (например, в гармонической ловушке).
Нестационарное уравнение Гросса – Питаевского имеет вид
Из нестационарного уравнения Гросса – Питаевского мы можем посмотреть на динамику конденсата Бозе – Эйнштейна. Он используется для поиска коллективных режимов захваченного газа.
Решения
Поскольку уравнение Гросса – Питаевского является нелинейным уравнением в частных производных , точные решения найти сложно. В результате решения должны быть приближены с помощью множества методов.
Точные решения
Бесплатная частица
Простейшим точным решением является раствор свободных частиц с ,
Это решение часто называют решением Хартри. Хотя он удовлетворяет уравнению Гросса – Питаевского, он оставляет зазор в энергетическом спектре из-за взаимодействия:
Согласно теореме Hugenholtz-Pines , [4] , взаимодействующий Бозе - газ не проявляет энергетической щели (в случае отталкивающих взаимодействий).
Солитон
Одномерный солитон может образовываться в конденсате Бозе – Эйнштейна, и в зависимости от того, является ли взаимодействие притягивающим или отталкивающим, существует либо яркий, либо темный солитон. Оба солитона представляют собой локальные возмущения в конденсате с однородной фоновой плотностью.
Если БЭК отталкивающий, так что , то возможное решение уравнения Гросса – Питаевского:
- ,
где - значение волновой функции конденсата при , а также - длина когерентности (также известная как длина заживления , [3] см. ниже). Это решение представляет собой темный солитон, поскольку в пространстве ненулевой плотности имеется дефицит конденсата. Темный солитон также является разновидностью топологического дефекта , поскольку переключается между положительными и отрицательными значениями в начале координат, что соответствует сдвиг фазы.
Для
где химический потенциал . Это решение представляет собой яркий солитон, поскольку в пространстве с нулевой плотностью имеется концентрация конденсата.
Длина заживления
Длину заживления можно понимать как масштаб длины, где кинетическая энергия бозона равна химическому потенциалу: [3]
Длина заживления дает кратчайшее расстояние, на котором может измениться волновая функция; Он должен быть намного меньше любого масштаба длины в решении одночастичной волновой функции. Длина заживления также определяет размер вихрей, которые могут образовываться в сверхтекучей жидкости; Это расстояние, на котором волновая функция восстанавливается от нуля в центре вихря до значения в объеме сверхтекучей жидкости (отсюда и название «исцеляющая» длина).
Вариационные решения
В системах, где точное аналитическое решение может оказаться невозможным, можно сделать вариационное приближение. Основная идея состоит в том, чтобы составить вариационный анзац для волновой функции со свободными параметрами, подставить его в свободную энергию и минимизировать энергию по отношению к свободным параметрам.
Численные решения
Для решения GPE использовалось несколько численных методов, таких как расщепленные методы Кранка – Николсона [5] и спектральные методы Фурье [6] . Существуют также различные программы на Фортране и C для решения контактного взаимодействия [7] [8] и дипольного взаимодействия на больших расстояниях . [9]
Приближение Томаса – Ферми.
Если число частиц в газе очень велико, межатомное взаимодействие становится большим, так что членом кинетической энергии можно пренебречь в уравнении Гросса – Питаевского. Это называется приближением Томаса – Ферми .
В гармонической ловушке (где потенциальная энергия квадратична по отношению к смещению от центра) это дает профиль плотности, обычно называемый профилем плотности «перевернутой параболы». [3]
Боголюбовское приближение
Боголюбовское рассмотрение уравнения Гросса – Питаевского - это метод, который находит элементарные возбуждения конденсата Бозе – Эйнштейна. Для этого волновая функция конденсата аппроксимируется суммой равновесной волновой функции и небольшое возмущение ,
- .
Затем эта форма вставляется в зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского и его комплексно сопряженное уравнение и линеаризуется до первого порядка по
Предполагая следующее для
находятся следующие связанные дифференциальные уравнения для а также взяв части как независимые компоненты
Для однородной системы, т. Е. Для , можно получить из уравнения нулевого порядка. Тогда мы предполагаем а также быть плоскими волнами импульса , что приводит к энергетическому спектру
Для больших дисперсионное соотношение квадратично по как и следовало ожидать от обычных невзаимодействующих одночастичных возбуждений. Для малых, дисперсионное соотношение линейно
с участием скорость звука в конденсате, также известная как второй звук . Дело в том, чтопоказывает, в соответствии с критерием Ландау, что конденсат является сверхтекучим, а это означает, что если объект перемещается в конденсате со скоростью, меньшей s, то возникновение возбуждений не будет энергетически выгодным, и объект будет двигаться без диссипации, что является характеристика сверхтекучей жидкости . Для доказательства этой сверхтекучести конденсата были проведены эксперименты с использованием сильно сфокусированного лазера с отстройкой от синего цвета. [10] Такое же дисперсионное соотношение обнаруживается, когда конденсат описывается с помощью микроскопического подхода с использованием формализма вторичного квантования .
Сверхтекучий во вращающемся спиральном потенциале
Оптическая потенциальная яма может быть образован двумя встречно распространяющимися оптическими вихрями с длинами волн , полезная ширина и топологический заряд :
где .В цилиндрической системе координат потенциальная яма имеет замечательную геометрию двойной спирали : [11]
В системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью , зависящее от времени уравнение Гросса – Питаевского со спиральным потенциалом имеет следующий вид: [12]
где - оператор углового момента. Решение для волновой функции конденсата представляет собой суперпозицию двух фазово-сопряженных вихрей материальной волны:
Макроскопически наблюдаемый импульс конденсата равен:
где - количество атомов в конденсате. Это означает, что атомный ансамбль движется когерентно по ось с групповой скоростью, направление которой определяется знаками топологического заряда и угловая скорость : [13]
Угловой момент спирально захваченного конденсата равен нулю: [12]
Численное моделирование ансамбля холодных атомов в спиральном потенциале показало ограничение индивидуальных траекторий атомов внутри спиральной потенциальной ямы. [14]
Рекомендации
- Перейти ↑ EP Gross (1961). «Структура квантованного вихря в бозонных системах» (Представленная рукопись) . Il Nuovo Cimento . 20 (3): 454–457. Bibcode : 1961NCim ... 20..454G . DOI : 10.1007 / BF02731494 .
- ^ Л.П. Питаевский (1961). «Вихревые линии в несовершенном бозе-газе». Сов. Phys. ЖЭТФ . 13 (2): 451–454.
- ^ а б в г Фут, CJ (2005). Атомная физика . Издательство Оксфордского университета. С. 231–240. ISBN 978-0-19-850695-9.
- ^ Н. М. Гугенгольц ; Д. Пайнс (1959). «Энергия основного состояния и спектр возбуждений системы взаимодействующих бозонов». Физический обзор . 116 (3): 489–506. Bibcode : 1959PhRv..116..489H . DOI : 10.1103 / PhysRev.116.489 .
- ^ П. Муруганандам и С.К. Адхикари (2009). "Программы на Фортране для нестационарного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Commun . 180 (3): 1888–1912. arXiv : 0904.3131 . Bibcode : 2009CoPhC.180.1888M . DOI : 10.1016 / j.cpc.2009.04.015 .
- ^ П. Муруганандам и С. К. Адхикари (2003). «Динамика бозе-эйнштейновской конденсации в трех измерениях псевдоспектральным и конечно-разностным методами». J. Phys. B . 36 (12): 2501–2514. arXiv : cond-mat / 0210177 . Bibcode : 2003JPhB ... 36.2501M . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 36/12/310 .
- ^ Д. Вудрагович; и другие. (2012). "Программы C для нестационарного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Commun . 183 (9): 2021–2025. arXiv : 1206,1361 . Bibcode : 2012CoPhC.183.2021V . DOI : 10.1016 / j.cpc.2012.03.022 .
- ^ LE Young-S .; и другие. (2016). "OpenMP Fortran и программы C для нестационарного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Commun . 204 (9): 209–213. arXiv : 1605.03958 . Bibcode : 2016CoPhC.204..209Y . DOI : 10.1016 / j.cpc.2016.03.015 .
- ^ Р. Кишор Кумар; и другие. (2015). "Программы Fortran и C для нестационарного дипольного уравнения Гросса-Питаевского в полностью анизотропной ловушке". Comput. Phys. Commun . 195 (2015): 117–128. arXiv : 1506.03283 . Bibcode : 2015CoPhC.195..117K . DOI : 10.1016 / j.cpc.2015.03.024 .
- ^ С. Раман; М. Кёль; Р. Онофрио; DS Durfee; CE Kuklewicz; З. Хаджибабич; В. Кеттерле (1999). «Доказательства критической скорости в конденсированном газе Бозе – Эйнштейна». Phys. Rev. Lett . 83 (13): 2502. arXiv : cond-mat / 9909109 . Bibcode : 1999PhRvL..83.2502R . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.83.2502 .
- ^ А.Ю. Окулова (2008). «Угловой момент фотонов и ОВФ». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys . 41 (10): 101001. arXiv : 0801.2675 . Bibcode : 2008JPhB ... 41j1001O . DOI : 10.1088 / 0953-4075 / 41/10/101001 .
- ^ а б А.Ю. Окулова (2012). «Улавливание холодного вещества с помощью медленно вращающегося спирального потенциала». Phys. Lett. . 376 (4): 650–655. arXiv : 1005,4213 . Bibcode : 2012PhLA..376..650O . DOI : 10.1016 / j.physleta.2011.11.033 .
- ^ А.Ю. Окулова (2013). «Сверхтекучий датчик вращения со спиральной лазерной ловушкой». J. Low Temp. Phys . 171 (3): 397–407. arXiv : 1207.3537 . Bibcode : 2013JLTP..171..397O . DOI : 10.1007 / s10909-012-0837-7 .
- ^ A.Al.Rsheed1, A.Lyras, VE Lembessis, OM Aldossary (2016). «Направление атомов в спирально-оптических потенциальных структурах». J. Phys. Летучая мышь. Мол. Опт. Phys . 49 (12): 125002. DOI : 10,1088 / 0953-4075 / 49/12/125002 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
дальнейшее чтение
- Петик, CJ и Смит, Х. (2002). Конденсация Бозе – Эйнштейна в разбавленных газах . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66580-3..
- Питаевский, Л.П., Стрингари, С. (2003). Конденсация Бозе – Эйнштейна . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850719-2..
Внешние ссылки
- Trotter-Suzuki-MPI Trotter-Suzuki-MPI - это библиотека для крупномасштабного моделирования, основанная на разложении Троттера-Судзуки, которая также может решать уравнение Гросса – Питаевского.