Длина рассеяния

Длина рассеяния в квантовой механике описывает рассеяние при низких энергиях . Для потенциалов, которые распадаются быстрее, чем as , он определяется как следующий низкоэнергетический предел :${\ displaystyle 1 / r ^ {3}}$${\ displaystyle r \ to \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {k \ to 0} k \ cot \ delta (k) = - {\ frac {1} {a}} \ ;,}$

где - длина рассеяния, - волновое число , - фазовый сдвиг уходящей сферической волны. Упругое сечение , при малых энергиях определяется только длиной рассеяния:${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle \ дельта (к)}$${\ displaystyle \ sigma _ {e}}$

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\sigma _{e}=4\pi a^{2}\;.}$

Общая концепция [ править ]

Когда медленная частица рассеивается рассеивателем с малым радиусом действия (например, примесью в твердом теле или тяжелой частице), она не может разрешить структуру объекта, поскольку ее длина волны де Бройля очень велика. Идея состоит в том, что тогда не должно быть важно, какой именно потенциал рассеивается, а важно только то, как этот потенциал выглядит на больших масштабах. Формальный способ решения этой проблемы - это частичное волновое разложение (в некоторой степени аналогично мультипольному разложению в классической электродинамике ), в котором один разлагается по угловому моменту${\displaystyle V(r)}$составляющие уходящей волны. При очень низкой энергии падающая частица не видит никакой структуры, поэтому в самом низком порядке у нее есть только сферическая исходящая волна, называемая s-волной по аналогии с атомной орбиталью с квантовым числом углового момента l = 0. При более высоких энергиях также необходимо учитывать рассеяние p- и d-волн ( l = 1,2) и так далее.

Идея описания низкоэнергетических свойств в терминах нескольких параметров и симметрий очень сильна, а также лежит в основе концепции перенормировки .

Понятие длины рассеяния может быть также распространено на потенциалы, которые затухают медленнее, чем as . Известным примером, относящимся к рассеянию протонов на протонах, является длина рассеяния, модифицированная кулонами. ${\displaystyle 1/r^{3}}$${\displaystyle r\to \infty }$

Пример [ править ]

В качестве примера того, как вычислить длину рассеяния s-волны (т.е. углового момента ) для заданного потенциала, мы рассмотрим бесконечно отталкивающую сферическую потенциальную яму радиуса в 3 измерениях. Радиальное уравнение Шредингера ( ) вне ямы точно такое же, как и для свободной частицы:${\displaystyle l=0}$${\displaystyle r_{0}}$${\displaystyle l=0}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}u''(r)=Eu(r),}$

где основной потенциал трудно требует, чтобы волновая функция обращается в нуль , . Решение легко найти:${\displaystyle u(r)}$${\displaystyle r=r_{0}}$${\displaystyle u(r_{0})=0}$

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s})}$.

Здесь и - фазовый сдвиг s-волны (разность фаз между входящей и исходящей волной), который фиксируется граничным условием ; - произвольная нормировочная константа.${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$${\displaystyle \delta _{s}=-k\cdot r_{0}}$${\displaystyle u(r_{0})=0}$${\displaystyle A}$

Можно показать, что в общем случае для малых (т. Е. При низкоэнергетическом рассеянии). Параметр размерной длины определяется как длина рассеяния . Таким образом, для нашего потенциала мы имеем , другими словами, длина рассеяния твердой сферы - это просто радиус. (В качестве альтернативы можно было бы сказать, что произвольный потенциал с длиной рассеяния s-волны имеет те же низкоэнергетические свойства рассеяния, что и твердая сфера радиуса .) Чтобы связать длину рассеяния с физическими наблюдаемыми, которые можно измерить в эксперименте по рассеянию, нам нужно вычислить сечение . В теории рассеяния${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx -k\cdot a_{s}+O(k^{2})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{s}}$${\displaystyle a=r_{0}}$${\displaystyle a_{s}}$${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$можно записать асимптотическую волновую функцию в виде (мы предполагаем, что в начале координат имеется рассеиватель конечного диапазона, а вдоль оси -оси - падающая плоская волна ):${\displaystyle z}$

${\displaystyle \psi (r,\theta )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}}$

где - амплитуда рассеяния . Согласно вероятностной интерпретации квантовой механики дифференциальное сечение задается выражением (вероятность в единицу времени разлететься в нужном направлении ). Если рассматривать только s-волновое рассеяние, то дифференциальное сечение не зависит от угла , а полное сечение рассеяния равно . S-волновая часть волновой функции проецируется с помощью стандартного разложения плоской волны по сферическим волнам и полиномам Лежандра :${\displaystyle f}$${\displaystyle d\sigma /d\Omega =|f(\theta )|^{2}}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \sigma =4\pi |f|^{2}}$${\displaystyle \psi (r,\theta )}$ ${\displaystyle P_{l}(\cos \theta )}$

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac {1}{2ikr}}\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)P_{l}(\cos \theta )\left[(-1)^{l+1}e^{-ikr}+e^{ikr}\right]}$

Сопоставляя компоненту с решением s-волны (где мы нормализуем так, чтобы входящая волна имела префактор единицы), мы получаем :${\displaystyle l=0}$${\displaystyle \psi (r,\theta )}$${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s})/r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle e^{ikz}}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}(e^{2i\delta _{s}}-1)\approx \delta _{s}/k\approx -a_{s}}$

Это дает:

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\pi }{k^{2}}}\sin ^{2}\delta _{s}=4\pi a_{s}^{2}}$

См. Также [ править ]

• Псевдопотенциал Ферми
• Длина рассеяния нейтронов

Ссылки [ править ]

• Ландау, ЛД; Лифшиц, Э.М. (2003). Квантовая механика: нерелятивистская теория . Амстердам: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-3539-8.